python,利用牛顿迭代法求出1到n之间的所有整数的算术平方根,并与math库中的sqrt 函数的结果比较

在Python中，你可以使用牛顿迭代法（Newton-Raphson Method）来近似计算一个数的平方根，这是一种迭代优化算法。对于每个数`x`，我们从一个初始猜测值开始，比如`x / 2`，然后不断逼近真实值直到满足精度要求。以下是实现步骤：

import math

def newton_sqrt(n, tolerance=1e-8):
    guess = n
    while abs(guess * guess - n) > tolerance:
        guess = (guess + n / guess) / 2
    return guess

# 获取1到n的所有整数并计算它们的算术平方根
for i in range(1, n+1):
    approx_root = newton_sqrt(i)
    exact_root = math.sqrt(i)
    
    print(f"Approximate square root of {i} is {approx_root}, and the exact is {exact_root}")

# 比较两者结果
print("Comparison:")
for i, (approx, exact) in enumerate(zip(approx_root, exact_root)):
    if approx == exact:
        print(f"{i}: Both methods agree for sqrt({i})")
    else:
        print(f"{i}: Newton's method gives {approx}, whereas math.sqrt gives {exact}")

在这个例子中，我们将每个数字的近似平方根与`math.sqrt()`库函数的结果进行对比。请注意，牛顿迭代法虽然通常收敛很快，但对于非常大的数值可能会有性能问题，因为它涉及大量的除法操作。