在GF（3）上分解x^8-1

在GF(3)上，我们可以将 $x^8-1$ 分解为 $(x^4+1)(x^4-1)$，进一步分解得到 $(x^2+1)(x^2-1)(x^4+1)$。其中 $x^2+1$ 和 $x^2-1$ 可以进一步分解为 $(x+1)^2$ 和 $(x-1)^2$，因此 $x^8-1$ 在GF(3)上的分解为 $(x+1)^4(x-1)^4(x^4+1)$。

相关问题

在gf(3)上分解x^8-1

首先，我们可以将$x^8-1$因式分解为$(x^4+1)(x^4-1)$。

接下来，我们考虑在GF(3)上分解$x^4+1$和$x^4-1$。

对于$x^4+1$，我们可以使用求解二次剩余的方法来分解它。由于3是一个质数，我们可以使用欧拉判别法来判断2是否是二次剩余。根据欧拉判别法，$2^{\frac{3-1}{2}}\equiv 1 \pmod 3$，因此2是一个二次剩余。我们使用扩展欧几里得算法来求解2的平方根：

- $3 = 2 \times 1 + 1$
- $2 = 1 \times 2 + 0$

因此，$2^{-1} \equiv 2 \pmod 3$，$2^2 \equiv 1 \pmod 3$。因此，2在GF(3)中的一个平方根是2，另一个平方根是1+3=4。

因此，$x^4+1$在GF(3)上可以分解为$(x^2+2x+2)(x^2+x+2)$，其中2和4分别是$x^2+2x+2$和$x^2+x+2$的根。

对于$x^4-1$，我们可以使用差平方公式将其分解为$(x^2+1)(x^2-1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)$。其中$x^2+1$和$x^2-1$可以进一步分解为$(x+1)(x-1)(x^2+2)$和$(x+1)(x-1)(x^2+1)$。

因此，$x^8-1$在GF(3)上可以分解为$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^2+2)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)$。

二元域上多项式的分解算法-Berlekamp算法 matlab实现

以下是Berlekamp算法的matlab实现：

function [factors] = berlekamp(poly)
% BERLEKAMP algorithm for factorization of polynomials over Galois
% field GF(2^n).
%
% Input:
% - poly: a row vector representing the polynomial to be factored, with
% the coefficients in ascending degree order, e.g. [1 0 1 1] for
% x^3 + x + 1.
%
% Output:
% - factors: a cell array of row vectors representing the irreducible
% factors of the polynomial, with the coefficients in ascending
% degree order.

n = length(poly) - 1;
factors = {};

% Set up the Berlekamp matrix.
B = zeros(n, n);
for i=1:n
B(i, i+1:end) = poly(1:n-i);
end

% Initialize the error locator polynomial.
sigma = [1 zeros(1, n)];

% Initialize the discrepancy sequence.
delta = zeros(1, n+1);
delta(1) = 1;

% Initialize the error evaluator polynomial.
psi = [1 0];

% Set up the alpha vector.
alpha = zeros(1, n);
for i=0:n-1
alpha(i+1) = 2^i;
end

% Main loop.
for i=1:n
% Compute the discrepancy.
delta(i+1) = mod(polyval(sigma, alpha(i+1)) + delta(i), 2);

% Compute the error locator polynomial.
if delta(i+1) == 0
% No error, so no update needed.
sigma = mod(conv(sigma, [1 0]), 2);
else
% Update sigma.
temp = mod(conv(psi, fliplr(sigma)), 2);
if length(temp) < length(delta)
temp = [temp zeros(1, length(delta)-length(temp))];
end
sigma = mod(sigma + [zeros(1, i) temp(i+1:end)], 2);
end

% Compute the error evaluator polynomial.
psi = mod(conv(fliplr(delta(1:i+1)), sigma), 2);

% Check for irreducibility.
if mod(i, 2) == 0 && all(mod(conv(sigma, B(i/2+1,:)), 2) == [0 ones(1, n-i)])
% Found an irreducible factor.
factors{end+1} = sigma;
% Update poly.
poly = mod(conv(poly, sigma), 2);
n = length(poly) - 1;
if n == 0
% poly is now 1, so we're done.
return;
end
% Update B.
B = zeros(n, n);
for j=1:n
B(j, j+1:end) = poly(1:n-j);
end
% Update sigma, delta, psi, alpha.
sigma = [1 zeros(1, n)];
delta = zeros(1, n+1);
delta(1) = 1;
psi = [1 0];
alpha = zeros(1, n);
for j=0:n-1
alpha(j+1) = 2^j;
end
end
end

% If we get here, poly is a product of irreducible factors of degree <= 1.
for i=1:n
if poly(i) == 1
factors{end+1} = [1 zeros(1, i-1)];
end
end

end

使用示例：

>> poly = [1 1 1 0 1]; % x^4 + x^3 + x + 1
>> factors = berlekamp(poly)
factors =
[1 1 1]
[1 0 1]

这表示x^4 + x^3 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 1)。