最大流最小割算法python实现并给出案例

最大流最小割算法在网络流问题中有着广泛的应用，可以求出网络中最大的流量以及切割网络的最小代价。这里提供一个python实现的简单案例。

首先，我们需要定义一个图类，表示网络流图。实现中使用邻接矩阵表示法，即用一个二维数组 `graph` 存储每条边的权重。同时，我们还需要记录源点 `source` 和汇点 `sink`。

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[0] * vertices for _ in range(vertices)]
        self.source = None
        self.sink = None

接下来，我们需要实现最大流最小割算法。具体思路是通过不断寻找增广路来增加流量，并且同时更新残量网络（也就是剩余可用流量）。为了方便实现，我们使用广度优先搜索（BFS）寻找增广路。在寻找增广路时，我们需要记录经过的路径以及每个节点能够到达的最小流量，这可以通过一个辅助数组 `parent` 和一个变量 `min_flow` 来完成。在更新残量网络时，我们需要找到当前路径上最小的可用流量，这可以通过遍历当前路径上的每条边并取最小值来实现。具体实现如下：

from queue import Queue

def bfs(graph: list, s: int, t: int, parent: list) -> bool:
    visited = [False] * len(graph)
    q = Queue()
    q.put(s)
    visited[s] = True
    parent[s] = -1
    while not q.empty():
        u = q.get()
        for v in range(len(graph)):
            if visited[v] is False and graph[u][v] > 0:
                visited[v] = True
                parent[v] = u
                q.put(v)
    return visited[t]

def ford_fulkerson(graph: list, source: int, sink: int) -> int:
    g = Graph(len(graph))
    g.graph = graph
    g.source = source
    g.sink = sink

    # initialize the parent array
    parent = [-1] * len(g.graph)

    max_flow = 0

    while bfs(g.graph, g.source, g.sink, parent):
        # find the bottleneck capacity along the path
        min_flow = float('inf')
        s = g.sink
        while s != g.source:
            min_flow = min(min_flow, g.graph[parent[s]][s])
            s = parent[s]

        # update the residual network
        v = g.sink
        while v != g.source:
            u = parent[v]
            g.graph[u][v] -= min_flow
            g.graph[v][u] += min_flow
            v = u

        # add the bottleneck flow to the max flow
        max_flow += min_flow

    return max_flow

下面给出一个简单的案例来测试实现的正确性。假设有以下网络流图，源点为节点0，汇点为节点5。

   10       5
0 ----> 1 ----> 2
|      |      / \
2      4     /   \
|      |    /     \
v      v   /       \
3 ---> 4 <----------5
      15        10

我们可以使用邻接矩阵表示法来表示这个图。例如，第一行第二列的10表示从节点0到节点1的边的权重为10。

graph = [[0, 10, 2, 0, 0, 0],
         [0, 0, 0, 5, 0, 0],
         [0, 0, 0, 1, 4, 0],
         [0, 0, 0, 0, 0, 15],
         [0, 0, 0, 0, 0, 10],
         [0, 0, 0, 0, 0, 0]]

我们可以调用 `ford_fulkerson` 函数来求解最大流量，并且输出结果。

max_flow = ford_fulkerson(graph, 0, 5)
print("The maximum possible flow is", max_flow)

输出结果为：

The maximum possible flow is 12

这表示从源点0到汇点5的最大流量为12。