他不是问的最大期望值吗?
时间: 2024-04-23 10:25:04 浏览: 16
非常抱歉,我理解有误。下面是对于最大期望值的回答:
题目描述:
有一个长度为 n 的序列 a,每个位置上的数是 1 到 n 之间的整数,每个数被选择的概率相等。你需要选择其中的 m 个数,使得这 m 个数的平均值的期望最大。求这个最大期望值。
解题思路:
我们可以用贪心的思想来解决这个问题。我们首先来考虑一个比较简单的情况:如果只需要选择一个数,那么这个数应该选择多少呢?
我们可以枚举这个数 k,然后计算 k 的期望值。假设 k 在序列中出现了 m 次,那么 k 被选中的概率就是 m/n。所以 k 的期望值就是 k*m/n。那么如果我们选择 k,那么这个数列的平均值的期望就是 k。
接下来我们考虑选择两个数的情况。我们可以枚举两个数 k1 和 k2,然后计算这两个数的期望值之和。假设 k1 在序列中出现了 m1 次,k2 在序列中出现了 m2 次,那么 k1 和 k2 都被选中的概率就是 m1*m2/n^2。所以 k1 和 k2 的期望值之和就是 k1*m1/n+k2*m2/n。我们可以对这个式子进行一下变形:
k1*m1/n+k2*m2/n = (k1+m1/n*k2)*m1/n + (k2+(n-m2)/n*k1)*m2/n
我们发现,如果我们令 k1 = 1,k2 = 2,那么这个式子就可以化简为:
m1/n+k2*(n-m2)/n = (m1+m2)/n + (k2-1)*m2/n
这个式子的含义是,如果我们选择了 k1 = 1,k2 = 2,那么期望值就是 (m1+m2)/n + (k2-1)*m2/n。我们可以发现,如果我们选择了 k1 = 1,那么我们需要选择一个尽可能大的 k2,才能使得期望值最大。
同样的道理,我们可以得到选择三个数、四个数……直到 m 个数的情况下,每个数的最优选择。最后将每个数的最优选择加起来,就可以得到最大期望值了。
时间复杂度为 O(m^2),可以通过此题。
希望能够帮到你!