python实现归一化拉普拉斯矩阵

在Python中，归一化拉普拉斯矩阵通常用于图论中的邻接矩阵表示，它是一种稀疏矩阵，用于计算图的局部特征。归一化的拉普拉斯矩阵可以帮助我们处理各种图形分析任务，如社区检测、谱聚类等。

归一化拉普拉斯矩阵有几种形式，其中最常见的是随机游走拉普拉斯矩阵（Random Walk Laplacian）和共轭拉普拉斯矩阵（Conjugate Gradient Laplacian）。这两种归一化方法的区别在于对度矩阵（Degree Matrix）的处理：

1. 随机游走拉普拉斯矩阵（Normalized Random Walk Laplacian, NRM）:
\( L = D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}} \)
其中 \( A \) 是原始的邻接矩阵，\( D \) 是度矩阵（对角线元素为A的所有列和），\( D^{-\frac{1}{2}} \) 表示D的平方根的逆。

2. 共轭拉普拉斯矩阵（Symmetric Normalized Laplacian, SNC）或改进的共轭拉普拉斯矩阵（Graph Shift Operator, GSO）:
\( L = I - D^{-\frac{1}{2}}AD^{-\frac{1}{2}} \)
这里 \( I \) 是单位矩阵，这种归一化更有利于信号传播。

在Python中，可以使用Scipy库中的sparse模块来创建和操作稀疏矩阵。例如，如果你有一个二维数组表示邻接矩阵，可以这样做：

import numpy as np
from scipy.sparse import lil_matrix

# 假设adj_matrix是一个二维numpy数组，代表邻接矩阵
adj_matrix = ... # 根据实际数据填充

# 将邻接矩阵转换为scipy的lil_matrix格式
sparse_adj = lil_matrix(adj_matrix)

# 计算度矩阵
degree_matrix = sparse_adj.sum(axis=0).reshape(-1, 1)

# 归一化拉普拉斯矩阵
rw_laplacian = degree_matrix.power(-0.5) @ sparse_adj @ degree_matrix.power(-0.5)
snc_laplacian = sparse.eye(rw_laplacian.shape[0]) - rw_laplacian