已知点O（0,0,0）A（1,2,2）B（1,2,2）求经过点B且与平面垂直的直线方程

首先，我们可以通过向量叉积来求出平面的法向量。向量AB为(0,0,0)到(1,2,2)的向量，向量AC为(0,0,0)到(1,2,2)的向量，它们的叉积即为平面的法向量。计算得到向量AB×AC=(-4,2,2)。

由于直线与平面垂直，所以直线的方向向量应该与平面的法向量垂直，即直线的方向向量为(2,4,-4)或其相反数(-2,-4,4)。

又因为直线过点B(1,2,2)，所以直线的参数方程为x=1+2t，y=2+4t，z=2-4t。

因此，经过点B且与平面垂直的直线方程为x=1+2t，y=2+4t，z=2-4t。

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已知平面过点O（0,0,0）A（1,2,2）B（1,2,2）求平面的点法式方程

点法式方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 (A,B,C) 是平面的法向量。我们可以通过向量 OA 和 OB 来求出平面的法向量，然后代入点 O 得到平面的点法式方程。

向量 OA = (1,2,2) - (0,0,0) = (1,2,2)
向量 OB = (1,2,2) - (0,0,0) = (1,2,2)
平面的法向量为向量 OA 和 OB 的叉积：
(1,2,2) × (1,2,2) = (4,-2,0)
所以平面的点法式方程为 4x - 2y = 0。

已知平面过O（0,0,0）A（1,2,2）B（1,2,2）求直线x=1-2t y=1+t，z=1+3t与平面的交点

首先，我们可以通过向量叉乘求出平面的法向量，即：

AB = (1-1, 2-2, 2-2) = (0,0,0)

OA = (0-1, 0-2, 0-2) = (-1,-2,-2)

n = AB × OA = (0,0,0) × (-1,-2,-2) = (0,0,0)

由于法向量为零向量，说明平面不存在，因此无法回答这个问题。