已知直线l：3x+4y-40=0,点A(-1,5), 点B(-2,-2)，点C（5，5），若p是三角形ABC外接圆上的一点，则点p到直线l的距离的取值范围是

首先，我们可以通过将直线l转化为一般式，即4x-3y+40=0。这样，我们可以计算出点A、B、C到直线l的距离分别为：

d(A,l) = |4*(-1) - 3*5 + 40| / sqrt(4^2 + (-3)^2) = 7 / 5

d(B,l) = |4*(-2) - 3*(-2) + 40| / sqrt(4^2 + (-3)^2) = 14 / 5

d(C,l) = |4*5 - 3*5 + 40| / sqrt(4^2 + (-3)^2) = 3 * sqrt(5) / 5

接下来，我们考虑三角形ABC外接圆的性质。根据圆的定义，对于圆上的任意一点P，其到圆心O的距离等于圆的半径r。因此，我们可以将问题转化为求三角形ABC外接圆的半径r及其圆心O到直线l的距离。

首先，我们可以通过向量叉积的方法求出向量AB和向量AC的叉积，即：

AB x AC = (-7, -23, -17)

这个向量的长度为sqrt(7^2 + 23^2 + 17^2) = 3 * sqrt(79)。根据三角形面积公式，三角形ABC的面积为：

S = 1/2 * AB x AC / 2 = 3/2 * sqrt(79)

根据外接圆的性质，可以得到：

r = AB * AC * BC / (4S) = sqrt(79) / 2

接下来，我们需要求出圆心O到直线l的距离。根据点到直线的距离公式，可以得到：

d(O,l) = |4xO - 3yO + 40| / 5

其中，(xO, yO)为圆心O的坐标。我们可以通过向量叉积的方法求出法向量n，即：

n = AB x AC = (-7, -23, -17)

由于向量n的长度为3 * sqrt(79)，我们可以将其单位化，即：

n' = n / (3 * sqrt(79)) = (-7/sqrt(79), -23/sqrt(79), -17/sqrt(79))

由于圆心O在外接圆的垂直平分线上，因此n'与向量AO的方向相同或相反。我们可以通过向量叉积的方法求出向量AO，即：

AO = (-6, 0, -5)

由于向量AO的长度为sqrt(6^2 + 0^2 + 5^2) = sqrt(61)，我们可以将其单位化，即：

AO' = AO / sqrt(61) = (-6/sqrt(61), 0, -5/sqrt(61))

根据向量的夹角公式，可以得到：

cos(theta) = n' * AO' = (-7/sqrt(79)) * (-6/sqrt(61)) + (-23/sqrt(79)) * 0 + (-17/sqrt(79)) * (-5/sqrt(61)) = -13/23

因此，O到直线l的距离为：

d(O,l) = |4xO - 3yO + 40| / 5 = |4*(-6/sqrt(61)) - 3*0 + 40| / 5 = 104 / (5 * sqrt(61))

综上所述，点P到直线l的距离的取值范围为：

d(P,l) = |d(O,l) ± r| = |104 / (5 * sqrt(61)) ± sqrt(79) / 2|