向量矩阵运算与平面解析：10-11-2代B题目详解

在本题中，我们涉及到了多方面的线性代数概念，包括向量、矩阵、平面方程、距离计算、矩阵运算以及向量空间理论。以下是详细的知识点解析： 1. **矩阵A的计算与性质**： - 向量α = (1, 0, 1)，β = (0, 2, 2)，矩阵A定义为A = αTβ，即A的每个元素是对应向量的点积。通过计算，我们得到矩阵A为： ``` A = | 1*0 + 0*2 + 1*2 | | 0*0 + 2*2 + 2*2 | | 0*0 + 0*2 + 0*2 | = | 0 | | 4 | | 0 | ``` A的秩（rank）r(A)为矩阵非零行数，即2，因为有两个非零行。矩阵A的行列式|A|为0，因为至少有一行全为0。 2. **平面π的方程与直线l与平面的交点**： - 平面π通过点P(1, 0, -1)且垂直于直线l，由于直线l的方向向量未知，这里假设直线l的标准形式为`ax + by + cz = d`。垂直于直线l的平面方程可以通过平面π过点P的法向量来表示，该法向量与直线l的法向量垂直。根据题目描述，无法直接给出具体数值，但可以表示为`nx + ny + nz = d`，其中n是直线l的法向量。直线l与平面π的交点坐标是直线方程与平面方程联立解出的结果，题目给出了交点坐标(-8, -1, 2)。 3. **原点到平面的距离**： - 原点到平面`Ax + By + Cz + D = 0`的距离公式为`d = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)`，这里的`(x_0, y_0, z_0)`为原点坐标。对于题目中的平面`x + y - z + 3 = 0`，距离计算结果需要代入数值计算。 4. **矩阵乘法和逆矩阵**： - 对于可逆矩阵A和B，题目给出了\( A \cdot O \cdot O \cdot AB \)和\( A \cdot O \cdot O \cdot BA \)的形式，这里\( O \)代表零矩阵。因为\( AB \neq BA \)，所以两个表达式不会相等，实际应填写零矩阵。 5. **向量组的线性相关性**： - 向量组α1, α2, α3线性相关，意味着它们不能构成一个基，已知α3含有变量a，若α1和α2线性无关，则a的值必须使得α3能被α1和α2线性表出，这表明a = 1。极大线性无关组可能是α1和α2，也可能是α1和α3，或者α2和α3，具体取决于a的取值。 6. **向量空间与基的表示**： - 向量空间V由所有满足给定条件的三维向量构成，如题目中提到的。向量空间的基是由一组基向量，如(2, 3, 1)、(0, 0, 1)，或者另外两个独立向量构成。维数dimV为这两个基向量的数量，即2。 7. **矩阵相似和合同**： - 题目中给出了矩阵A、B和C的元素，要判断矩阵之间的相似和合同关系。相似表示矩阵之间存在可逆矩阵P，使得PA = AP'；合同则表示矩阵之间存在常数k，使得AB = k * CD。根据给出的矩阵元素，需要通过计算比对找到相应的矩阵对。 以上就是这些题目中涉及的主要知识点，希望对你学习和理解线性代数有所帮助。