计算门函数g(t)的傅立叶变换G(jω)，并用编程工具将变换后的频域函数绘制出来（标注出第一个过零点的角频率值）。门函数g(t)的数学表达式和时域图分别如下：

门函数g(t)通常是一个脉冲函数，它在时间t大于某个阈值T后瞬间变为1，在t小于等于T时为0。其数学表达式一般形式可以写作：

\[ g(t) = \begin{cases}
1 & t > T \\
0 & t \leq T
\end{cases}
\]

对于这样的非连续函数，其傅立叶变换G(jω)可以通过分布定理计算，但由于门函数实际上是单位阶跃函数u(t-T)与常数1的乘积，我们可以直接应用卷积定理，将其分解为两个简单函数的傅立叶变换。

门函数的频域表示G(jω)将是原点处的无穷大（因为单位阶跃函数在直流分量下无限大），而1的部分则对应于一个常数项，所以:

\[ G(j\omega) = U(\omega) + 1 \]

其中U(ω)是单位脉冲函数的频域表示，等于δ(ω)。

要绘制这个频域函数，你可以用编程语言如Python（NumPy和Matplotlib库）来实现，示例代码可能如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义角频率范围
omega_range = np.linspace(-np.pi, np.pi, num=1000)
G_omega = np.zeros_like(omega_range) + 1  # 常数项加上单位脉冲响应

# 绘制频域函数
plt.plot(omega_range, G_omega, label='G(jω)')
# 标注第一个过零点，注意这里是单位脉冲函数不存在过零点，如果是连续函数会有其他处理
zero_crossing = None  # 对于离散函数，这里无法直接找到过零点，需要解释清楚

if zero_crossing is not None:
    plt.axvline(zero_crossing, linestyle='dashed', color='red', label=f'First Zero Crossing at {zero_crossing:.2f}')

plt.xlabel('Angular Frequency (ω)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.legend()
plt.title('Fourier Transform of the Gate Function')
plt.grid(True)
plt.show()