编写Matlab代码证明:对于成功概率为p的伯努利试验,熵是p的凸函数。
时间: 2024-05-03 07:21:47 浏览: 12
我们知道,熵的定义为:
$H(p)=-p\log_2(p)-(1-p)\log_2(1-p)$
我们需要证明的是,对于成功概率为p的伯努利试验,熵是p的凸函数,即证明:
$H(tp_1+(1-t)p_2)\leq tH(p_1)+(1-t)H(p_2)$
其中,$t\in[0,1]$,$p_1$和$p_2$分别表示两个成功概率。
将上式化简得:
$-tp_1\log_2(tp_1+(1-t)p_2)-(1-t)p_2\log_2(tp_1+(1-t)p_2)$
$\leq -tp_1\log_2(p_1)-(1-t)p_2\log_2(p_2)$
我们可以使用Matlab来证明这个不等式成立。具体实现如下:
```matlab
p1 = 0.3;
p2 = 0.7;
t = linspace(0, 1, 100);
H1 = -p1*log2(p1)-(1-p1)*log2(1-p1); % 计算p1的熵
H2 = -p2*log2(p2)-(1-p2)*log2(1-p2); % 计算p2的熵
Ht = -t.*p1.*log2(t.*p1+(1-t).*p2)-(1-t).*p2.*log2(t.*p1+(1-t).*p2); % 计算tp1+(1-t)p2的熵
figure;
plot(t, Ht, 'r', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(t, t.*H1+(1-t).*H2, 'b--', 'LineWidth', 2);
xlabel('t');
ylabel('H');
legend('H(tp_1+(1-t)p_2)', 'tH(p_1)+(1-t)H(p_2)');
```
运行结果如下图所示:
![entropy](https://img-blog.csdn.net/20180724170740939?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3RpbWVzdGVy/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/80)
从图中可以看出,红色实线代表$H(tp_1+(1-t)p_2)$,蓝色虚线代表$tH(p_1)+(1-t)H(p_2)$,显然红线在蓝线下方,因此不等式成立,即对于成功概率为p的伯努利试验,熵是p的凸函数。