根据提示，在右侧编辑器 Begin-End 区间补充代码，实现普通版本和向量化版本的一维随机游走模拟，计算模拟结果的粒子位置的平均值和标准差。 bernoulli_real(p, n, x)：根据公式计算并返回 n 重伯努利试验成功概率的理论值，其中，p为单次试验的成功概率，n为试验总次数，x为成功试验的总次数（x<=n）； bernoulli_simu(p, n, x, N)：用蒙特卡罗方法计算 n 重伯努利试验成功概率的模拟值，其中，p为单次试验的成功概率(0<=p<=1)，n为试验总次数，x为成功试验的总次数（x<=n），N为蒙特卡罗方法模拟次数。在每次蒙特卡罗模拟过程中，如果具有概率p的那个结果刚好出现x次，那么称这n次实验是成功的，如果M是N次蒙特卡罗模拟中成功的次数，那么概率估计为M/N。

下面是实现bernoulli_real和bernoulli_simu函数的代码：

import math
import random

def bernoulli_real(p, n, x):
    q = 1 - p
    coef = math.factorial(n) / (math.factorial(x) * math.factorial(n - x))
    prob = coef * (p ** x) * (q ** (n - x))
    return prob

def bernoulli_simu(p, n, x, N):
    count = 0
    for i in range(N):
        successes = sum(random.choices([1, 0], weights=[p, 1-p], k=n))
        if successes == x:
            count += 1
    prob = count / N
    return prob

其中，bernoulli_real函数根据公式计算 n 重伯努利试验成功概率的理论值，参数p为单次试验的成功概率，n为试验总次数，x为成功试验的总次数。bernoulli_simu函数用蒙特卡罗方法计算 n 重伯努利试验成功概率的模拟值，参数p为单次试验的成功概率，n为试验总次数，x为成功试验的总次数，N为蒙特卡罗方法模拟次数。在每次蒙特卡罗模拟过程中，通过random.choices函数生成n个服从二项分布的随机数，其中权重为p和1-p，如果成功的次数等于x，则计数器加1。最后，概率估计为计数器除以模拟次数N。