线性移不变系统的响应。 线性移不变系统的差分方程为 y(n)+0.1y(n-1)-0.06y(n-2)=x(n)-2x(n-1) 分别利用 filter 函数和 conv 编程求解。 1、系统对输入信号x(n)=R8(n)响应,并画出x(n)和y(n)的波形。 2、求解系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并画出波形。

首先，我们可以将差分方程转换为系统函数的形式：

H(z) = (1 - 2z^-1) / (1 + 0.1z^-1 - 0.06z^-2)

然后，我们可以用 filter 函数和 conv 函数求解系统的响应。

使用 filter 函数：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

b = [1, -2]
a = [1, 0.1, -0.06]
n = np.arange(0, 20)
x = np.zeros(20)
x[8] = 1

y = np.zeros(20)
y[0], y[1] = 0, 0

for i in range(2, 20):
    y[i] = -a[1]*y[i-1] - a[2]*y[i-2] + b[0]*x[i] + b[1]*x[i-1]

plt.stem(n, x, label='x(n)')
plt.stem(n, y, label='y(n)')
plt.legend()
plt.show()

使用 conv 函数：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

b = [1, -2]
a = [1, 0.1, -0.06]
n = np.arange(0, 20)
x = np.zeros(20)
x[8] = 1

h = np.zeros(20)
h[0], h[1] = 1, -0.1
for i in range(2, 20):
    h[i] = 0.06*h[i-2] - 0.1*h[i-1]

y = np.convolve(x, h)

plt.stem(n, x, label='x(n)')
plt.stem(n, y[:20], label='y(n)')
plt.legend()
plt.show()

两种方法得到的结果应该是一致的。

接下来我们求解单位脉冲响应和单位阶跃响应。

单位脉冲响应：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

b = [1, -2]
a = [1, 0.1, -0.06]

h = np.zeros(20)
h[0], h[1] = 1, -0.1
for i in range(2, 20):
    h[i] = 0.06*h[i-2] - 0.1*h[i-1]

plt.stem(np.arange(0, 20), h)
plt.title('Impulse Response')
plt.show()

单位阶跃响应：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

b = [1, -2]
a = [1, 0.1, -0.06]

h = np.zeros(20)
h[0], h[1] = 1, -0.1
for i in range(2, 20):
    h[i] = 0.06*h[i-2] - 0.1*h[i-1]

s = np.cumsum(h)

plt.stem(np.arange(0, 20), s)
plt.title('Step Response')
plt.show()