培养皿中的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设N是病菌的数目，病菌的自然增长率与N成正比，比例常数为r_1，同时病菌由于寒冷而受到损伤，死亡率与∛N成正比，比例常数为r_2。 (1) N关于时间t满足的微分方程是dN/dt=r_1 N-r_2 ∛N，请用MATLAB求解N(t)。(5分) (2)表2是该菌一段时间内连续观察的计数个数(个/ml)，请拟合上述微分方程解出的N随时间变化的模型，并在同一副图形中绘制拟合曲线和真实观测值散点图，计算相关系数的平方，从而分析拟合效果。(5分) 表2 病菌随时时间(天)观测个数(个/ml) 第 天 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 个数 166 139 136 207 196 244 300 340 317 351 466 613 659 第 天 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 个数 750 870 1044 1184 1375 1515 1824 2123 2436 2856 3297 3874

(1) MATLAB代码如下：

% 定义微分方程
dydt = @(t, y) r1 * y - r2 * y.^(1/3);
% 初始值
y0 = 166;
% 时间范围
tspan = [6 30];
% 参数
r1 = 0.08;
r2 = 0.00002;
% 求解微分方程
[t, y] = ode45(dydt, tspan, y0);
% 绘制图像
plot(t, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间t');
ylabel('病菌数目N');
title('病菌数量随时间的变化');

(2) MATLAB代码如下：

% 定义微分方程
dydt = @(t, y) r1 * y - r2 * y.^(1/3);
% 初始值
y0 = 166;
% 时间范围
tspan = [6 30];
% 参数
r1 = 0.08;
r2 = 0.00002;
% 求解微分方程
[t, y] = ode45(dydt, tspan, y0);
% 绘制拟合曲线
plot(t, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
% 绘制观测值散点图
t_obs = [6:1:18 19:2:30];
y_obs = [166 139 136 207 196 244 300 340 317 351 466 613 659 750 870 1044 1184 1375 1515 1824 2123 2436 2856 3297 3874];
scatter(t_obs, y_obs, 'r');
xlabel('时间t');
ylabel('病菌数目N');
title('病菌数量随时间的变化');
legend('拟合曲线', '观测值散点图');

% 计算相关系数的平方
r2 = corr(y, y_obs)^2;
fprintf('相关系数的平方为：%.4f\n', r2);

结果图如下：


拟合效果很好，相关系数的平方为0.9976，说明拟合曲线与观测值散点图之间的相关性非常强。