黎曼流形上数据对数投影到切空间的完整MATLAB代码

下面是黎曼流形上数据对数投影到切空间的MATLAB代码：

function [proj_x, log_x] = log_map(x, y)
% x: 在流形上的点
% y: 流形上的另外一个点
% proj_x: 投影到x点的切空间上的向量
% log_x: 以x点为起点，沿着切空间上的一个向量，到达y点的向量

% 计算切空间的度量矩阵
g = metric_tensor(x);

% 计算 x 和 y 之间的测地线
geodesic = geodesic_curve(x, y);

% 计算沿着测地线的方向导数
dy_dt = directional_derivative(geodesic, g);

% 计算沿着测地线到达 y 点的向量
log_x = dy_dt(end, :);

% 计算投影到切空间上的向量
proj_x = projection(x, log_x, g);
end

function g = metric_tensor(x)
% 计算在 x 点的度量矩阵
% 这里假设度量矩阵是单位矩阵
g = eye(size(x, 2));
end

function geodesic = geodesic_curve(x, y)
% 计算 x 和 y 之间的测地线
% 这里使用伪牛顿法求解
% 初始值为 x 和 y 的中点，迭代 10 次
z = (x + y) / 2;
for i = 1:10
    [z, ~, ~] = exp_map(x, z, 1);
end
geodesic = [x; z; y];
end

function dy_dt = directional_derivative(geodesic, g)
% 计算沿着测地线的方向导数
% 这里使用类似于有限差分的方法
dt = 1e-3;
dy_dt = zeros(size(geodesic));
for i = 1:size(geodesic, 1)
    if i == 1
        dy_dt(i, :) = (geodesic(i+1, :) - geodesic(i, :)) / dt;
    elseif i == size(geodesic, 1)
        dy_dt(i, :) = (geodesic(i, :) - geodesic(i-1, :)) / dt;
    else
        dy_dt(i, :) = (geodesic(i+1, :) - geodesic(i-1, :)) / (2*dt);
    end
    dy_dt(i, :) = dy_dt(i, :) / sqrt(g(geodesic(i, :)));
end
end

function proj_x = projection(x, v, g)
% 计算向量 v 在 x 点的切空间上的投影
proj_x = v - ((v * g(x)) / (g(x) * g(x))) * g(x);
end

function [y, dy_dx, dy_dz] = exp_map(x, z, t)
% 计算从 x 点沿着 z 方向走 t 距离到达的点 y
% 这里使用伪牛顿法求解
% 初始值为 x，迭代 10 次
for i = 1:10
    [dy_dx, dy_dz] = exponential_map_deriv(x, z);
    y = x + t*dy_dx;
    z = z + t*dy_dz;
end
end

function [dy_dx, dy_dz] = exponential_map_deriv(x, z)
% 计算 exp_x(z) 对 x 和 z 的导数
% 这里假设度量矩阵是单位矩阵
u = z - x;
norm_u = norm(u);
if norm_u == 0
    dy_dx = eye(size(x, 2));
    dy_dz = zeros(size(z));
else
    dy_dx = eye(size(x, 2)) ...
            + ((1 - cos(norm_u)) / (norm_u*norm_u)) * skew_symmetric(u) ...
            + ((norm_u - sin(norm_u)) / (norm_u*norm_u*norm_u)) * (skew_symmetric(u))^2;
    dy_dz = (1/norm_u) * ((eye(size(x, 2))) ...
            + ((cos(norm_u) - 1) / (norm_u*norm_u)) * skew_symmetric(u) ...
            + ((norm_u - sin(norm_u)) / (norm_u*norm_u*norm_u)) * skew_symmetric(u)^2) * skew_symmetric(u);
end
end

function A = skew_symmetric(v)
% 计算向量 v 的反对称矩阵
A = [0, -v(3), v(2);
     v(3), 0, -v(1);
     -v(2), v(1), 0];
end

其中，`metric_tensor` 函数用来计算在 x 点的度量矩阵，这里假设度量矩阵是单位矩阵；`geodesic_curve` 函数用来计算 x 和 y 之间的测地线，这里使用伪牛顿法求解，初始值为 x 和 y 的中点，迭代 10 次；`directional_derivative` 函数用来计算沿着测地线的方向导数，这里使用类似于有限差分的方法；`projection` 函数用来计算向量 v 在 x 点的切空间上的投影；`exp_map` 函数用来计算从 x 点沿着 z 方向走 t 距离到达的点 y，这里使用伪牛顿法求解，初始值为 x，迭代 10 次；`exponential_map_deriv` 函数用来计算 exp_x(z) 对 x 和 z 的导数，这里假设度量矩阵是单位矩阵；`skew_symmetric` 函数用来计算向量 v 的反对称矩阵。