已知齐次微分方程，给出条件x=e^t，将其转换为常系数微分方程

齐次微分方程的一般形式是 \( \frac{dy}{dx} = P(x) \cdot y \)，其中 \( P(x) \) 是某个函数。当我们有一个特定的依赖于 \( x \) 的表达式，比如 \( x = e^t \)，我们想要将它替换到原方程中，首先需要对 \( t \) 进行求导，因为 \( x \) 和 \( t \) 之间存在直接的关系。

已知 \( x = e^t \)，对其两边取自然对数得 \( \ln(x) = t \)。现在我们来解：

1. 对 \( x \) 求导得到 \( \frac{dx}{dt} = \frac{d(e^t)}{dt} = e^t \)。
2. 由于 \( \frac{dx}{dt} = x \)，我们可以把 \( x \) 看作 \( t \) 的函数，那么对于 \( \frac{dy}{dx} \)，可以写作 \( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x} \)。
3. 将原来的齐次微分方程代入这个新的表达式中，得到 \( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{e^t} = P(e^t) \cdot y \)。
4. 整理一下，我们得到 \( \frac{dy}{dt} = e^t \cdot P(e^t) \cdot y \)，这就是以 \( t \) 为自变量的常系数微分方程。