4.已知某LTI系统的微分方程为y’’(t)+3*y’(t)+2*y(t)=x(t)，已知激励信号x(t)=4*(e^(-2*t))*u(t)，起始条件y(0_)=3,y’(0_)=4，求系统的零状态响应，零输入响应，完全响应

好的，根据所给微分方程，对于任意LTI系统，其零状态响应可以表示为：

y_z(t) = y_h(t) + y_p(t)

其中，y_h(t)是系统的齐次解，y_p(t)是系统的特解。

首先，我们需要求出系统的齐次解。对于齐次微分方程 y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 0，我们可以先求出其特征方程：

λ^2 + 3λ + 2 = 0

解得 λ1 = -1, λ2 = -2。因此，齐次解可以表示为：

y_h(t) = c1*e^(-t) + c2*e^(-2t)

其中，c1和c2是待定系数，需要通过起始条件求解。将起始条件 y(0_) = 3 和 y'(0_) = 4 代入 y_h(t) 可得：

c1 + c2 = 3
- c1 - 2c2 = 4

解得 c1 = 2, c2 = 1。因此，齐次解可以表示为：

y_h(t) = 2*e^(-t) + e^(-2t)

接下来，我们需要求出系统的特解。根据题目所给的激励信号 x(t) = 4*e^(-2t)*u(t)，可以猜测系统的特解形式为：

y_p(t) = A*e^(-2t)*u(t)

其中，A是待定系数。将 y_p(t) 代入微分方程可得：

-4A*e^(-2t) + 6A*e^(-2t) + 2A*e^(-2t) = 4*e^(-2t)*u(t)

化简可得：

2A = 4

解得 A = 2。因此，特解可以表示为：

y_p(t) = 2*e^(-2t)*u(t)

最后，我们可以将 y_h(t) 和 y_p(t) 相加，得到系统的零状态响应：

y_z(t) = 2*e^(-t) + 3*e^(-2t) + 2*e^(-2t)*u(t)

此外，根据定义，我们可以将激励信号 x(t) 直接代入原微分方程，求出系统的零输入响应：

y_i(t) = 0

因此，系统的完全响应可以表示为：

y(t) = y_z(t) + y_i(t) = 2*e^(-t) + 3*e^(-2t) + 2*e^(-2t)*u(t)