用信号与系统代码做下题已知一个LTI连续系统的微分方程为y"(t)+4y'(t) +3y(t) =2f'(t)+ f(t), 输入信号为f(t) =e-²"e(t)，试编写MATLAB程序求系统的单位冲激响应、单位 阶跃响应和零状态响应。

首先，我们处理这个问题需要理解几个关键步骤：

1. **微分方程**：给定的是一个线性时间不变（LTI）系统的一阶和二阶微分方程，形式为：
\[ y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = 2f'(t) + f(t) \]
其中 \( f(t) = e^{-t}u(t) \) 是输入信号，包含指数衰减部分和单位阶跃函数 \( u(t) \)。

2. **响应计算**：
- **单位冲激响应 (Impulse Response)**：这是当输入为单位冲激函数 \( \delta(t) \) 时的系统响应，对于一阶微分方程尤其重要。
- **单位阶跃响应 (Step Response)**：输入为单位阶跃函数 \( u(t) \) 时的响应。
- **零状态响应 (Zero State Response)**：如果初始条件（状态）为零时的响应，这通常涉及到对微分方程进行适当的积分和解。

在MATLAB中，可以使用`dde23`函数解决这样的常微分方程。然而，由于 `f(t)` 既包含指数衰减又包含阶跃函数，我们需要分开处理这两个情况。下面是简单的步骤：

% 确定微分方程的系数和输入函数
a1 = 0; a2 = 4; a0 = 3;
b1 = 2; b0 = 1;

% 定义输入函数
f_exp = @(t) exp(-t); % 指数衰减部分
u_step = @(t) heaviside(t); % 单位阶跃函数
input_func = f_exp .* u_step; % 整合两者

% 对于阶跃响应，设置初始条件为零（零状态响应）
initial_condition = [0; 0]; % 初始位置和速度

% 解决微分方程
options = odeset('Events', @eventHandler, 'EventLocation', 'right'); % 设置事件处理
[t, y] = dde23(a1, a2, a0, b1, b0, initial_condition, input_func, tspan, options);

% 函数 eventHandler 是为了确定阶跃响应的终止点
function [value,isterminal,direction] = eventHandler(~, ~)
    value = 1; % 设定阶跃结束的阈值
    isterminal = true;
    direction = -1; % 要在右侧找到事件
end

% 分离出单位阶跃响应部分
step_response = y(:,2);
impulse_response = y(end,1); % 取最后一个时刻的响应作为单位冲激响应

% 零状态响应需要进一步计算，因为demonode23默认不是零状态
zerostate_response = deval(y, t, 0); % 评估零状态响应

请注意，这里假设`dde23`函数可以正确处理这类混合输入，并且`heaviside`函数可能需要根据具体的MATLAB版本和工具箱进行调整。最后的零状态响应可能需要额外计算，因为它依赖于初始条件。