描述某LTI系统的微分方程为 y”(t)+5y (t)+6y(t)=f (t)+5f(t)的零输入响应和零状态响应及全响应,并写出强迫响应、自由响应、暂态响应和稳态响应。 已知f(t) = e-te(
时间: 2023-08-09 15:10:02 浏览: 96
根据所给微分方程,可以得到其特征方程为 λ^2 + 5λ + 6 = 0,解得 λ1 = -2,λ2 = -3。
因此,零状态响应为 y_h(t) = c1e^{-2t} + c2e^{-3t},其中 c1、c2 为常数。零输入响应为 y_p(t) = k1e^{-2t} + k2e^{-3t},其中 k1、k2 为待定系数。
将 f(t) 代入原微分方程可得强迫响应为 y_f(t) = e^{-t}。将初始条件带入可求得 c1 = -1/2,c2 = 1/2,因此自由响应为 y_h(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-3t}。
根据 y_p(t) 的形式可知其暂态响应为 y_{tp}(t) = k1e^{-2t} + k2e^{-3t},稳态响应为 y_{ss}(t) = e^{-t}。将初始条件带入可求得 k1 = 0,k2 = 1/5,因此全响应为 y(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-3t} + \frac{1}{5}e^{-3t} + e^{-t}。
综上所述,强迫响应为 e^{-t},自由响应为 -\frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-3t},暂态响应为 k1e^{-2t} + k2e^{-3t},稳态响应为 e^{-t}。
相关问题
matlab已知某连续LTI系统的微分方程为y''(t)+4y(t)=2f'(t)-5f(t)画出系统的方框图
根据该微分方程,可以得到系统的传递函数:
H(s) = (2s - 5) / (s^2 + 4)
下面是该系统的方框图:
```
+-----+ +------+
f(t) -->| + |------+ 2s-5|--> y(t)
| H | | s^2+4|
+-----+ +------+
```
其中,方框中的 H 表示系统的传递函数。
某lti系统的微分方程为y'(t)+y(t)=f(t),当输入信号f(t)=u(t)时,求系统的频率响应H(jω)、单位冲激响应h(t)和对应的输出信号y(t)
好的,根据输入信号f(t)=u(t)和微分方程y'(t)+y(t)=f(t),我们可以得到该系统的传递函数为:
H(jω) = Y(jω) / U(jω) = 1 / (jω + 1)
其中,Y(jω)和U(jω)分别表示系统的输出和输入的傅里叶变换。
根据传递函数H(jω),我们可以求出系统的频率响应:
H(jω) = 1 / (jω + 1) = (1 - jω) / (1 + ω^2)
所以,系统的频率响应为:
|H(jω)| = sqrt[(1 - ω)^2 + ω^2] / (1 + ω^2)
接下来,我们可以通过求解微分方程来得到系统的单位冲激响应h(t):
y'(t) + y(t) = δ(t)
其中,δ(t)表示单位冲激函数。将输入信号f(t)替换为δ(t),则有:
H(jω) = Y(jω) / δ(jω) = 1 / (jω + 1)
所以,系统的单位冲激响应为:
h(t) = L^{-1}[H(jω)] = e^{-t}u(t)
其中,L^{-1}表示拉普拉斯反变换,u(t)表示单位阶跃函数。
最后,我们可以通过卷积运算来求得输出信号y(t):
y(t) = h(t) * f(t) = ∫_{0}^{t} e^{-(t-τ)}dτ
将输入信号f(t)替换为u(t),则有:
y(t) = ∫_{0}^{t} e^{-(t-τ)}u(τ)dτ = 1 - e^{-t}
所以,系统的输出信号为:
y(t) = 1 - e^{-t}