用 C++编写： 请将输入矩阵（矩阵 1）的每列归一化获得矩阵 2，请将矩阵 2 的秩，迹依次输出。

在C++中，我们可以使用`Eigen`库来进行矩阵操作，包括归一化和秩、迹的计算。以下是使用该库的简单示例代码：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

// 定义一个函数来归一化矩阵
Eigen::MatrixXd normalizeColumns(const Eigen::MatrixXd& matrix1)
{
    // 获取矩阵的列数
    int cols = matrix1.cols();

    // 创建一个新的矩阵来存储归一化的结果
    Eigen::MatrixXd normalizedMatrix(cols, matrix1.rows());

    for(int i = 0; i < cols; ++i)
    {
        // 计算当前列的总和
        double sum = matrix1.col(i).sum();
        
        // 如果总和不为零，则进行归一化
        if(sum != 0)
            normalizedMatrix.col(i) = matrix1.col(i).array() / sum;
        else
            std::cout << "Column " << i+1 << " has zero sum, cannot be normalized." << std::endl;
    }

    return normalizedMatrix;
}

// 计算矩阵的秩和迹
void calculateRankAndTrace(const Eigen::MatrixXd& matrix)
{
    int rank = matrix.rank(); // 矩阵的秩
    double trace = matrix.trace(); // 矩阵的迹

    std::cout << "Rank of the matrix: " << rank << std::endl;
    std::cout << "Trace of the matrix: " << trace << std::endl;
}

int main()
{
    // 假设matrix1是一个已知的输入矩阵
    Eigen::MatrixXd matrix1 = ...;

    // 归一化矩阵1的每列
    Eigen::MatrixXd matrix2 = normalizeColumns(matrix1);

    // 计算并输出矩阵2的秩和迹
    calculateRankAndTrace(matrix2);

    return 0;
}

在这个代码中，首先对输入矩阵的每列进行归一化，然后计算归一化后的矩阵的秩和迹，并打印出来。请注意，实际运行时你需要提供`matrix1`的初始化值。