欧几里得算法是什么?
时间: 2024-03-25 14:34:54 浏览: 28
欧几里得算法,也称为辗转相除法,是用于计算两个非负整数的最大公约数(GCD)的一种方法。该算法基于以下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
具体步骤如下:
1. 将两非负整数记为a和b,其中a >= b。
2. 用b去,得到余数r。
3. 如果等于0,则b即为最大公约数。
4. 如果r不等于0,则将b赋值给a,将r赋值给b,然后重复步骤2。
这个过程会一直重复,直到余数为0。最后得到的b就是a和b的最大公约数。
相关问题
什么是扩展的欧几里得算法
扩展的欧几里得算法又称为扩展欧几里得算法或裴蜀定理,是求解两个整数的最大公约数(GCD)以及一组整数的线性组合(Bézout系数)的算法。它是欧几里得算法的扩展,可以用于解决一些关于模运算的方程,例如求解同余方程、模反元素等。
该算法的基本思想是通过递归实现辗转相除法,并在递归过程中计算出一组整数的线性组合。具体地,假设要求解两个整数a和b的最大公约数,扩展欧几里得算法的递归过程如下:
1. 若b等于0,则a为最大公约数,此时Bézout系数为(1, 0)。
2. 否则,计算出a除以b的商q和余数r,即a = bq + r,然后递归调用算法求解b和r的最大公约数,并得到它们的Bézout系数(s, t)。根据带余除法可知,a和b的任意线性组合都可以表示为r和b的线性组合,即a = r + bq。因此,可以通过以下公式计算a和b的Bézout系数(x, y):
x = t
y = s - qt
经过若干次递归调用,最终可以求出a和b的最大公约数以及一组Bézout系数。扩展欧几里得算法的时间复杂度为O(log min(a,b)),空间复杂度为O(log min(a,b))。
设计程序实现欧几里得算法:设?=1859,?=1573,求 s 和 t, 使得?? + ?? = (?, ?)
欧几里得算法,也称辗转相除法,是求两个正整数的最大公约数的算法。根据欧几里得算法,我们可以得到两个数的最大公约数,以及可以用最大公约数来表示这两个数的线性组合。对于给定的两个数a和b,欧几里得算法的步骤如下:
1. 如果b等于0,则最大公约数为a,此时s=1,t=0。
2. 否则,计算a除以b的商q和余数r,即a=bq+r。
3. 递归地计算b和r的最大公约数,得到gcd和s1、t1。
4. 最大公约数gcd即为a和b的最大公约数,而s和t可以通过以下公式计算得到:s=t1,t=s1-q*t1。
根据题目所给的数据,我们可以按照上述步骤来计算s和t:
1. 1573不等于0,计算1859除以1573的商q=1和余数r=286。
2. 递归地计算1573和286的最大公约数,得到gcd=1,s1=1,t1=-1。
3. 根据公式计算得到s=-1,t=2。
4. 因此,可以得到-1*1859+2*1573=(1,0)。