证明o(f)o(g)=o(fg)算法
时间: 2023-12-10 10:04:55 浏览: 272
对于证明 o(f) o(g) = o(fg),我们可以使用大O符号的定义来进行推导。
根据大O符号的定义,如果存在正常数 c 和 n0,使得对于所有 n > n0,有 f(n) ≤ c · g(n),那么我们可以说 f(n) 是 o(g(n))。
假设 f(n) 是 o(g(n)),即存在正常数 c1 和 n1,使得对于所有 n > n1,有 f(n) ≤ c1 · g(n)。
现在我们来考虑 o(f) o(g)。根据函数复合(composition)的定义,o(f) o(g) 表示的是一个函数 h(n),使得对于任意正常数 c2 和 n2,存在一个正常数 m,使得对于所有 n > m,有 h(n) ≤ c2 · f(g(n))。
我们将 h(n) 替换为 f(g(n)),即考虑 f(g(n)) ≤ c2 · f(g(n))。由于 f(n) 是 o(g(n)),我们可以取 c2 = c1,并且对于所有 n > max(n1, n2),有 f(g(n)) ≤ c1 · g(g(n))。
因此,我们可以得出结论:o(f) o(g) = o(fg)。
相关问题
证明O(f)O(g)=O(fg)
根据大O符号的定义,如果存在正常数M和N,使得当n>N时,有f(n)<=Mg(n),那么我们说f(n)是O(g(n))。同样地,如果存在正常数P和Q,使得当n>Q时,有g(n)<=Pf(n),那么我们说g(n)是O(f(n))。
现在,我们来证明O(f)O(g)=O(fg)。对于任何n>N,有:
f(n)g(n) <= Mf(n)g(n) <= Mg(n)f(n) (因为f(n)<=Mg(n))
因此,我们得到:
f(n)g(n) <= Mg(n)f(n)
这表明fg(n)是O(f(n)g(n)),即fg(n)∈O(f(n)g(n))。因此,我们证明了O(f)O(g) ⊆ O(fg)。
类似地,对于任何n>Q,有:
g(n)f(n) <= Pg(n)f(n) <= Pf(n)g(n) (因为g(n)<=Pf(n))
因此,我们得到:
g(n)f(n) <= Pf(n)g(n)
这表明fg(n)是O(g(n)f(n)),即fg(n)∈O(g(n)f(n))。因此,我们证明了O(fg) ⊆ O(f)O(g)。
综上所述,我们证明了O(f)O(g)=O(fg)。
作业1:(对应算法基础部分,25分) (1)证明O(f)O(g)=O(fg) (2)已知T(n)=2T(n/2)+n/og₂n,且T(1)=1,求T(n)的时间复杂度。
(1) 证明O(f)O(g)=O(fg):
我们需要证明对于任意的函数f(n),g(n),总存在一个常数C和一个正整数N,使得当n>N时,有f(n)g(n)<=Cf(n)g(n)。
假设当n>N时,f(n)<=C1g(n),g(n)<=C2f(n),那么f(n)g(n)<=C1C2f(n)g(n),即可得证。
因此,O(f)O(g)=O(fg)。
(2) 已知T(n)=2T(n/2)+n/og₂n,且T(1)=1,求T(n)的时间复杂度:
根据主定理,可以得到T(n)的时间复杂度为O(nlog₂n)。
具体步骤如下:
首先,我们将T(n)表示为递归式形式:T(n) = 2T(n/2) + n/og₂n
然后,我们可以得到a=2,b=2,f(n)=n/og₂n
根据主定理的第二种情况,当f(n) = Θ(n^log₂2)时,T(n)的时间复杂度为O(n^log₂2 * logn)。
因为当n/og₂n = 1时,T(n) = 1,因此,n/og₂n = 2^k时,T(n) = k。
所以,n/og₂n = 2^k,即k = log₂n,因此,T(n)的时间复杂度为O(nlog₂n)。
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