如何设计一个算法来计算(a+b)^n的二项式系数，C语言

设计一个算法来计算 (a + b)^n 的二项式系数，可以采用动态规划的方法，其中经典的Catalan数是一个关键部分，因为二项式系数（组合数）可以表示为C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，对于0 <= k <= n。

这里是一个简单的C语言函数，用于计算给定指数n下的二项式系数：

#include <stdio.h>

// 动态规划计算二项式系数
unsigned long long binomialCoefficient(int n, int k) {
    if (k == 0 || k == n)
        return 1; // 底部情况，n choose 0 或者 n choose n 都是1

    unsigned long long *coefficients = malloc(sizeof(unsigned long long) * (n+1));
    coefficients[0] = coefficients[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        coefficients[i] = 0;
        for (int j = 0; j <= i - 1; ++j) {
            coefficients[i] += coefficients[j] * coefficients[i-j-1];
        }
    }

    // 返回第n-k+1个系数，即C(n, k)
    unsigned long long result = coefficients[n - k + 1];
    free(coefficients); // 释放内存
    return result;
}

int main() {
    int n, k;
    printf("请输入指数n和另一个值k: ");
    scanf("%d %d", &n, &k);
    if (n >= k) {
        unsigned long long coefficient = binomialCoefficient(n, k);
        printf("(a + b)^%d 的 %d次方系数是 %llu\n", n, k, coefficient);
    } else {
        printf("无效输入，k应该小于等于n。\n");
    }
    return 0;
}