使用伪码写出递归算法来求解n的阶乘; (2) 列出该递归算法的递推关系式; (3)使用替换法和迭代两种方法分别计算地推表达式的渐进表达式。

使用伪代码编写递归算法求解n的阶乘如下：

function factorial(n):
    if n == 0 or n == 1:   // 基本情况，0和1的阶乘都是1
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)   // 递归关系，n的阶乘等于n乘以(n-1)的阶乘

递归算法的递推关系式可以表示为：
factorial(n) = n * factorial(n - 1)
当n = 0时，递归结束。

1. 替换法（也称为直接计算）的渐进表达式：
对于n的阶乘，其渐进表达式直接就是O(n)，因为每一次递归调用都需要乘以n，总共进行n次这样的操作。

2. 迭代方法计算递推表达式的渐进表达式（例如，动态规划避免了重复计算）：
我们可以创建一个循环来逐步计算阶乘，每次更新结果而不涉及额外的递归。这种情况下，时间复杂度也是O(n)，因为我们只需遍历从1到n一次。

def iterative_factorial(n):
result = 1
for i in range(1, n + 1):
result *= i
return result

迭代后的渐进表达式同样是O(n)。

相关问题

完成以下任务： （1）使用伪码写出递归算法来求解n的阶乘； （2）列出该递归算法的递推关系式； （3）使用替换法和迭代两种方法分别计算地推表达式的渐进表达式。

（1）使用伪代码描述递归算法来求解n的阶乘：

function factorial(n):
    if n == 0 or n == 1:      // 基线条件
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)  // 递归调用

（2）该递归算法的递推关系式为：
\[ \text{factorial}(n) = n \times \text{factorial}(n - 1) \]
当 \( n = 0 \) 或 \( n = 1 \) 时，递归结束。

（3）替换法（也称主定理）来计算递归表达式的渐进表达式：
对于上述的阶乘函数，我们知道 \( T(n) = n \cdot T(n-1) \)，其中 \( T(n) \) 表示计算 \( n! \) 的时间复杂度。这是一个基本情况下的递归操作，其时间复杂度可以用 \( O(n) \) 来表示，因为每次递归都多了常数级别的工作量。因此，递归树的每个节点的计算次数都是 \( n \) 级别的，所以整体上是线性的 \( O(n) \)。

迭代法计算渐进表达式：
我们可以用循环来避免递归，直接迭代计算阶乘：

def factorial_iterative(n):
    result = 1
    for i in range(1, n+1):
        result *= i
    return result

# 迭代方法的时间复杂度也是 O(n)

无论是递归还是迭代，它们的时间复杂度都是 \( O(n) \)。

（1）使用伪码写出递归算法来求解a的n次方（a为某一常数）； （2）列出该递归算法的递推关系式； （3）使用替换法和迭代两种方法分别计算递推表达式的渐进表达式。

（1）使用伪代码表示递归算法来求解a的n次方（假设a为非零整数）：

function power(a, n):
    if n == 0:        # 基本情况，任何数的0次方都是1
        return 1
    else if n is odd:  # 如果n是奇数，则 a^(n-1) * a
        return a * power(a, n - 1)
    else:            # 如果n是偶数，则 (a^k)^2 = a^(2k)
        return power(a, n / 2) * power(a, n / 2)

（2）该递归算法的递推关系式可以表述为：
如果n是奇数，\( P(n) = a \times P(n-1) \)，其中P(n)表示a的n次方。
如果n是偶数，\( P(n) = P(\frac{n}{2}) \times P(\frac{n}{2}) \)。

（3）对于替换法（也称主定理），若递推关系满足 \( P(n) = T(n) + cP(n/k) \)，且 \( T(n) \) 是一个关于n的多项式函数，c是一个常数，k是大于1的正整数，那么\( P(n) \) 的渐近表达式通常取决于 \( T(n) \)。对于上述情况，\( T(n) = a^n \)，所以 \( P(n) = O(a^n) \)。

对于迭代法，我们可以将其转化为循环结构来避免递归带来的栈空间消耗。首先初始化一个变量res为1，然后使用while循环，每次将res乘以a并更新n，直到n减到0为止。此时的迭代版本不会有渐进表达式的明显改变，依然是 \( O(n) \)，因为需要n次乘法操作。