Nesterov加速算法详解

Nesterov加速算法是一种优化算法，可以在理论上证明有比梯度下降更快的收敛率。下面是Nesterov加速算法的详细介绍：

1. 梯度下降算法
梯度下降算法是一种常用的优化算法，用于求解无约束优化问题。其基本思想是沿着负梯度方向迭代更新参数，使目标函数值不断减小。梯度下降算法的迭代公式如下：
$$
\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha \nabla f(\theta_t)
$$
其中，$\theta_t$表示第$t$次迭代的参数，$\alpha$表示学习率，$\nabla f(\theta_t)$表示目标函数在$\theta_t$处的梯度。

2. Nesterov加速算法
Nesterov加速算法是在梯度下降算法的基础上提出的一种加速算法。其基本思想是在梯度下降算法的基础上，引入一个动量项，使得参数更新更加平滑，从而加速收敛。Nesterov加速算法的迭代公式如下：
$$
\begin{aligned}
v_{t+1} &= \gamma v_t + \alpha \nabla f(\theta_t - \gamma v_t) \\
\theta_{t+1} &= \theta_t - v_{t+1}
\end{aligned}
$$
其中，$v_t$表示第$t$次迭代的动量，$\gamma$表示动量的衰减系数，$\alpha$表示学习率，$\nabla f(\theta_t - \gamma v_t)$表示在$\theta_t - \gamma v_t$处的梯度。

3. Nesterov加速算法的优点
相比于梯度下降算法，Nesterov加速算法有以下优点：
- 收敛速度更快：Nesterov加速算法可以在理论上证明有比梯度下降更快的收敛率。
- 参数更新更加平滑：引入动量项可以使得参数更新更加平滑，从而避免了梯度下降算法中可能出现的震荡现象。
- 对于凸函数和非凸函数都适用：Nesterov加速算法不需要目标函数是凸函数，对于非凸函数也可以得到较好的效果。