门函数的傅里叶变换对偶

### 门函数的傅里叶变换及其对偶性质

在信号处理领域，矩形脉冲（通常称为门函数或rect函数）是一个重要的基本概念。该函数定义如下：

对于时间域中的门函数 \( \text{rect}(t/T) \)，其表达式为：
\[
\text{rect}\left(\frac{t}{T}\right)=
\begin{cases}
1, & |t|< T/2 \\
0, & |t|\geqslant T/2
\end{cases}
\]

#### 傅里叶变换

门函数的傅里叶变换结果是sinc函数。具体来说，
\[
F\{\text{rect}(t)\}=Tsinc(fT),
\]
其中 sinc 函数由下式给出：
\[
sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}.
\]

此关系表明，在时域中有限宽度的脉冲对应于频域内的无限带宽分布。

#### 对偶特性

根据傅立叶变换理论中的对偶性原理，如果存在一对函数 \( f(t) \leftrightarrow F(jω) \)，那么也必然有另一对互相对应的关系成立：\( F(t) ↔ 2πf(-jω) \)[^4]。因此，

当考虑门函数与其对应的正弦卡特兰函数之间的映射时，可以得出结论说，频率域上的理想低通滤波器形状实际上就是原有时域内门函数形式经过适当缩放和平移后的版本；反之亦然。

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义参数
duration = 1.0    # 时间持续长度
fs = 1000         # 采样率 (Hz)

time = np.linspace(-duration / 2, duration / 2, int(duration * fs), endpoint=False)
freq = np.fft.fftfreq(len(time)) * fs

# 创建并绘制原始 rect 波形
rect_waveform = signal.boxcar(int(fs*duration))
plt.plot(time[:len(rect_waveform)//2], rect_waveform[:len(rect_waveform)//2])
plt.title('Rect Function')
plt.xlabel('Time [seconds]')
plt.ylabel('Amplitude')

# 计算 FFT 并绘制幅度谱图
fft_result = abs(np.fft.fftshift(np.fft.fft(rect_waveform)))
plt.figure()
plt.plot(freq[freq.size//2:], fft_result[freq.size//2:])
plt.title('Fourier Transform of Rect Function')
plt.xlabel('Frequency [Hz]')
plt.ylabel('|X(f)|')

plt.show()