编写快速幂求X”的算法，并计算时间复杂度

快速幂算法（Fast Exponentiation，也称为分治法求幂），是一种用于高效计算大整数幂次运算的技巧，特别适用于指数很大而底数相对较小的情况，可以大大减少计算次数。以下是使用Python编写的快速幂算法的基本版本：

def fast_power(base, exponent):
    if exponent == 0:
        return 1
    elif exponent % 2 == 0:
        half_exponent = fast_power(base, exponent // 2)
        return half_exponent * half_exponent
    else:
        return base * fast_power(base, exponent - 1)

# 示例：计算2的100次方
result = fast_power(2, 100)

这个算法的核心思想是将指数不断二分，直到只剩下一个或两个数字，然后利用乘法结合律进行优化。如果指数是偶数，则只做一半的乘方；如果奇数，先做一次底数的乘法，然后再对结果进行半次幂的乘法。

**时间复杂度分析：**
快速幂算法的时间复杂度是O(log n)，这是因为每一次递归调用都能将指数减半。对于一般的大整数幂运算来说，这是非常高效的，特别是在指数非常大的时候，普通的方法可能会导致大量的计算。

相关问题

编写快速求幂x的算法，并计算时间复杂度

编写快速求幂的算法通常会采用指数运算的技巧，其中最著名的可能是“快速幂”（Fast Exponentiation）或“分治法”。以下是使用迭代版本的快速幂算法：

def fast_power(base, exponent):
    if exponent == 0:
        return 1  # 特殊情况，任何数的0次方都是1

    result = 1  # 初始化结果为1
    base_copy = base  # 备份底数，用于递归处理剩余位

    while exponent > 0:
        if exponent % 2 == 1:  # 如果当前位是1，则乘入结果
            result *= base_copy
        base_copy *= base_copy  # 将底数自乘准备下一位
        exponent //= 2  # 右移，每次将指数除以2

    return result

这个算法的时间复杂度是 O(log n)，这是因为每一次循环都会将指数减半。当指数较大时，相比于直接的乘法操作（O(n)），它大大减少了所需的计算次数。

编写快速求幂x的算法，并计算时间复杂度java

在Java中，你可以使用递归或者循环的方式编写快速幂算法。这里提供两种常见的实现：

1. **递归实现**：

public static long power(long x, int n) {
    if (n == 0) return 1; // base case: x^0 = 1
    else if (n % 2 == 0) { // 如果n是偶数
        long temp = power(x, n / 2);
        return temp * temp;
    } else { // 如果n是奇数
        long temp = power(x, (n - 1) / 2); // 首先计算 x^(n-1)/2
        return x * temp * temp;
    }
}

这个算法的时间复杂度是O(log n)，因为每次递归都将指数减半。

2. **循环实现**（也称为“迭代法”）：

public static long power(long x, int n) {
    long result = 1;
    while (n > 0) {
        if ((n & 1) != 0) // 判断n是否为奇数
            result *= x;
        x *= x; // 将x自乘，相当于将指数除以2
        n >>= 1; // n右移一位，等效于n /= 2
    }
    return result;
}

这个算法同样有O(log n)的时间复杂度。