证明矩阵环无非平凡理想

在矩阵环 \( M_n(R) \)，其中 \( R \) 是一个非空的交换环，要证明它没有非平凡的理想，我们可以考虑矩阵环的性质以及理想的一般定义。

一个理想的定义通常是一个集合，它包含零元，并且对于环中的任意元素 \( a \) 和 \( b \)，如果 \( ab \) 属于这个集合，则 \( a \) 也属于该集合。在矩阵环中，一个理想可以看作是由一些矩阵构成的集合，满足类似条件。

假设存在一个非平凡的理想 \( I \)，这意味着 \( I \neq M_n(R) \) 并且 \( 0 \in I \)（因为所有环都有零元）。我们想要证明不存在这样的 \( I \)。

首先，由于 \( I \) 包含零矩阵，即有 \( 0_{n \times n} \in I \)，这意味着对于每个 \( A \in M_n(R) \)，\( 0A = A0 = 0 \)，因此 \( A \) 乘以任何理想成员都回到理想自身。

接下来，我们可以考虑矩阵环的结构。任取矩阵 \( A \in M_n(R) \setminus I \)，即 \( A \) 不属于这个理想。那么 \( IA \) 或者 \( AI \)（由于矩阵的结合律）将包括至少一个非零矩阵，因为 \( I \) 中至少有一个矩阵，其与 \( A \) 相乘得到非零结果。这说明了 \( M_n(R) \) 的每一个元素至少与 \( I \) 中的一个元素相乘会离开 \( I \)。

由于 \( M_n(R) \) 是一个单位环，每个矩阵都有逆矩阵，所以我们可以推断出 \( I \cdot M_n(R) = M_n(R) \)，这意味着 \( I \) 不能同时既不是全环也不是空集，从而得出结论：矩阵环 \( M_n(R) \) 没有任何非平凡的理想。