编写程序，计算两个4bit数的乘积构成的集合的熵值，计算输入集合和输出集合之间的互信息熵

在编写程序计算4位二进制数乘积集合的熵值时，首先需要明确的是，熵（Entropy）是一个衡量不确定性的量，在信息论中用于描述数据集的平均信息含量。对于4位二进制数，每个数字有16种可能的状态（0000到1111），乘积集合的每个元素是8位的，同样也有256种可能的结果。

计算步骤如下：

1. **生成所有可能的4位数乘积**：创建一个列表存储所有的8位乘积结果。
2. **统计频率**：对每个乘积结果计数，得到其在集合中的频次。
3. **计算概率**：将每个乘积的频次除以总乘积的数量，得到每个结果的概率。
4. **计算熵**：对于输入集合（原始4位数）和输出集合（8位乘积），分别计算各自的熵。输入集合的熵可以用香农熵公式H(X) = -∑p(x) * log2(p(x))，其中p(x)是每个4位数出现的概率；输出集合的熵类似，只是基于8位乘积的结果概率。
5. **互信息熵**（Mutual Information）：衡量输入和输出之间的关联程度，用I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y)，其中H(X,Y)是联合熵，表示同时考虑X和Y的信息量。

如果你想要具体的Python代码示例，我可以为你提供。但是由于这里文字描述比较复杂，我会简化一下给出核心部分：

import math

# 假设4位数为x和y，生成所有可能的8位乘积并计数
all_products = [bin(i)[2:] for i in range(16) for j in range(16)]
product_frequencies = {product: all_products.count(product) for product in set(all_products)}

# 计算概率和熵
input_entropy = sum(frequency / len(all_products) * math.log2(frequency / len(all_products)) for frequency in product_frequencies.values())
output_entropy = input_entropy # 由于乘法是对称的，输入和输出集合的熵相等

# 互信息熵
mutual_information = input_entropy + output_entropy - (sum(p * math.log2(p) for p in product_frequencies.values()) * 2)