试证所有n阶对称矩阵组成
时间: 2023-10-07 12:03:08 浏览: 93
对称矩阵是指矩阵的转置与原矩阵相等。我们设n阶对称矩阵为A,A的矩阵元素为a_ij,1 ≤ i, j ≤ n。
首先,我们考虑对角线上的元素,即i = j。由于A为对称矩阵,有a_ij = a_ji,所以对角线上的元素都是对称矩阵的自由变量,可以取任意实数。
其次,我们考虑矩阵的上三角形部分(i < j)。由于A为对称矩阵,有a_ij = a_ji,所以上三角形部分的元素可以通过对角线下三角形部分的元素确定。也就是说,对角线下的元素(i>j)可以通过对角线上的元素(i<j)来确定。因此,对角线上的元素为矩阵确定的参数,一共有n个。
最后,我们考虑矩阵的下三角形部分(i > j)。由于A为对称矩阵,有a_ij = a_ji,所以下三角形部分的元素可以通过对角线上三角形部分的元素确定。也就是说,对角线上的元素(i<j)可以通过对角线下的元素(i>j)来确定。因此,对角线下的元素为矩阵确定的参数,一共有n个。
综上所述,n阶对称矩阵可以由对角线上的n个元素确定,对角线上的元素为任意实数,对角线下的元素为对角线上的元素的确定值。所以,所有n阶对称矩阵组成的集合是n个实数的笛卡尔积。
相关问题
matlab对称矩阵标准化
对称矩阵标准化是指将一个对称矩阵进行变换,使得变换后的矩阵具有一些特定的性质。在matlab中,对称矩阵标准化可以通过以下方式实现:
假设A是一个n*n的对称矩阵,则它可以通过特征值分解得到其特征向量和特征值,即 A = V*D*V',其中V是由特征向量组成的正交矩阵,D是由特征值组成的对角矩阵。对于对称矩阵A,它的特征向量是相互正交的,而且可以选择单位长度,即V'V = VV' = I。
对于标准化后的矩阵B,它的特征向量是正交的,并且满足V'BV = D。其中,B = V*D*V'。这样,就可以通过对对称矩阵进行特征值分解来得到标准化后的矩阵。
在matlab中,可以使用eig函数来进行特征值分解,例如:
```matlab
A = [1 2 3; 2 4 5; 3 5 6];
[V,D] = eig(A); % 对称矩阵的特征向量矩阵和特征值矩阵
B = V*D*V'; % 标准化后的对称矩阵
```
有一个4阶对称矩阵,主对角线为0,其余元素均为1,这个特殊矩阵求它的n次幂 有没有什么方法
对于这个特殊的4阶对称矩阵,你可以使用特征值分解的方法来求它的n次幂。首先,将矩阵进行特征值分解,得到特征值和对应的特征向量。由于该矩阵是对称矩阵,所以它的特征向量是正交的。
特征值分解后,你可以使用特征值的幂和特征向量来计算原矩阵的n次幂。具体步骤如下:
1. 对称矩阵A的特征值分解为 A = PDP^T,其中P是特征向量组成的矩阵,D是由特征值组成的对角矩阵。
2. 对D中的每个特征值进行幂运算,得到对角矩阵D'。
3. 计算矩阵A的n次幂:A^n = PD'^nP^T。
你可以使用这个方法来计算任意正整数n次幂的结果。