用c++写一个同伦延拓法

同伦延拓（Homotopy Extension）是一种在计算几何和计算机图形学中用来处理边界值问题的技术，特别是用于处理形状上的连续变形或拓扑变换。在C++中，要实现这个概念，你需要对泛函分析、拓扑学和数值算法有深入的理解。以下是一个简单的抽象示例，展示了如何使用类和递归函数模拟同伦延拓的过程，但请注意这只是一个非常基础的演示，并非完整的同伦延拓算法：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

// 假设我们有一个二维点类
class Point {
public:
    double x, y;
    Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};

// 假设我们的形状由一系列点定义
class Shape {
private:
    std::vector<Point> vertices;

public:
    void add_vertex(const Point& vertex) { vertices.push_back(vertex); }

    // 这里假设有一个近似同伦延拓的简单函数，例如线性插值
    void homotopy_extension(const Point& start, const Point& end, int step_size) {
        if (step_size == 0) return;
        for (size_t i = 0; i < vertices.size(); i++) {
            vertices[i] = interpolate(start, end, static_cast<double>(i) / vertices.size());
        }
        homotopy_extension(start, end, step_size - 1);
    }

    // 简单的线性插值函数
    Point interpolate(const Point& a, const Point& b, double t) {
        return Point(a.x + t * (b.x - a.x), a.y + t * (b.y - a.y));
    }
};

int main() {
    Shape my_shape;
    // 初始化形状的顶点

    Point start, end; // 设定初始和目标状态
    int step_size = 10; // 拓扑变化步数
    my_shape.homotopy_extension(start, end, step_size);

    // 打印或绘制经过同伦延拓后的形状
    for (const auto& vertex : my_shape.vertices) {
        std::cout << "Vertex (" << vertex.x << ", " << vertex.y << ")\n";
    }

    return 0;
}