在jupyterlab中用python实现： 采用数值计算的方法验证关于DTFT的所有性质！

在JupyterLab中使用Python验证离散时间傅立叶变换(DTFT)的性质，你需要使用科学计算库如NumPy和matplotlib来进行数值计算和可视化。首先，确保你已经在环境中安装了这些库：

pip install numpy matplotlib

下面是一个简单的例子，展示如何创建一些信号、计算其DTFT并验证几个基本的性质，比如线性移位、周期性和幅度谱的归一化等。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义DTFT的一些基本性质函数
def linear_shift(x, shift):
    return np.roll(x, -shift)

def dtft(x):
    N = len(x)
    k = np.arange(N)
    freqs = k / N
    X = np.fft.rfft(x) / N
    return freqs, X

def normalize(X):
    return X / np.max(np.abs(X))

# 创建一个正弦波信号作为示例
Fs = 44100 # sample rate (Hz)
t = np.linspace(0, 1/Fs, num=Fs*10, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*440*t)  # 440 Hz sinusoid

# 验证性质
shifted_x = linear_shift(x, 50)
freqs, X1 = dtft(x)
freqs_shifted, X2 = dtft(shifted_x)

# 线性移位验证
assert np.allclose(normalize(X1), normalize(X2[50:]), rtol=1e-3, atol=1e-3)

# 周期性验证
assert np.allclose(X1, X1[::44100], rtol=1e-3, atol=1e-3)  # 基频对应点应该相等

# 幅度谱归一化验证
assert np.allclose(np.max(np.abs(X1)), np.max(np.abs(X2)), rtol=1e-3, atol=1e-3)

plt.figure()
plt.plot(freqs, normalize(X1), label='Original')
plt.plot(freqs, normalize(X2), label='Shifted by 50 samples')
plt.legend()
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Normalized Amplitude')
plt.show()