用python编写一个程序：要求计算Hilbert矩阵的无穷条件数

Hilbert矩阵是一种特殊的正定矩阵，在数值分析中有重要应用。它的元素由公式 \( H_{i,j} = \frac{1}{i+j-1} \) 给出，从左上角到右下角递减。计算其无穷条件数通常涉及到矩阵的奇异值分解（SVD），因为这是评估矩阵病态程度的一个指标。

下面是一个简单的Python程序，使用numpy库来计算Hilbert矩阵并计算其无穷条件数（也称为矩阵的秩-比条件数或Condition Number Infinity）：

import numpy as np

def hilbert_matrix(n):
    return np.array([[1/(i+j-1) for j in range(1, n+1)] for i in range(1, n+1)])

def condition_number_infinity(matrix):
    u, s, v = np.linalg.svd(matrix)
    # 无穷条件数等于最小非零奇异值除以最大奇异值
    inf_condition_number = s[0] / s[-1]
    return inf_condition_number

# 计算5x5 Hilbert矩阵的条件数
n = 5
hilbert = hilbert_matrix(n)
condition_num_infinity = condition_number_infinity(hilbert)
print(f"5x5 Hilbert矩阵的无穷条件数为: {condition_num_infinity}")