使用Python编程计算不同条件数下的hilbert矩阵

Hilbert矩阵是一个特殊的正定矩阵，其每个元素是其行索引和列索引之和的倒数。在Python中，我们可以使用numpy库来生成和计算不同条件数下的Hilbert矩阵。以下是一个简单的步骤：

1. 首先，你需要安装numpy库，如果还没有安装，可以使用`pip install numpy`。

2. 创建函数来生成希尔伯特矩阵，例如：

import numpy as np

def hilbert_matrix(n):
    return np.array([[1 / (i + j + 1) for i in range(n)] for j in range(n)])

这个函数接受一个整数n作为输入，返回一个n x n的Hilbert矩阵。

3. 计算条件数（Condition Number），它衡量矩阵的奇异值差异。在numpy中，你可以使用`linalg.svd`函数并结合`np.linalg.cond`来计算：

from scipy import linalg

def condition_number(matrix):
    u, s, vh = linalg.svd(matrix)
    return max(s) / min(s)

# 示例
matrix = hilbert_matrix(5)
cond_num = condition_number(matrix)
print("Hilbert matrix of size 5:")
print(matrix)
print(f"Condition number: {cond_num}")