考虑优化问题: min x_1 s.t. 16 − (x_1 − 4)^2 − x_2^2≥ 0 x_1^2+ (x_2 − 2)^2− 4 = 0 (a) 写出上述问题的最优性条件, 计算 KKT 点. (b) 判断上述 KKT 点是否是局部极小点, 鞍点, 或全局极小点.

(a) 最优性条件：

1. 原问题的约束条件和可行域定义要满足，即 $16 − (x_1 − 4)^2 − x_2^2≥ 0$ 和 $x_1^2+ (x_2 − 2)^2− 4 = 0$。

2. 引进拉格朗日乘子 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，构造拉格朗日函数：

$$L(x_1,x_2,\lambda_1,\lambda_2)=16-(x_1-4)^2-x_2^2+\lambda_1(4-x_1^2-(x_2-2)^2)+\lambda_2(x_1^2+(x_2-2)^2-4)$$

3. 对 $L$ 求偏导数并令其等于 0：

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x_1}=-2(x_1-4)-2\lambda_1x_1+2\lambda_2x_1=0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_2}=-2x_2-2\lambda_1(x_2-2)+2\lambda_2(x_2-2)=0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_1}=4-x_1^2-(x_2-2)^2=0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_2}=x_1^2+(x_2-2)^2-4=0 \end{cases}$$

4. 将上述方程组整理可得 KKT 点：

$$x_1=\frac{8}{3}, x_2=\frac{10}{3}, \lambda_1=\frac{5}{3}, \lambda_2=\frac{1}{3}$$

(b) 判断 KKT 点是否是局部极小点、鞍点或全局极小点需要计算黑塞矩阵。黑塞矩阵为：

$$\begin{bmatrix} -2\lambda_1+2\lambda_2 & 0 \\ 0 & -2-2\lambda_1+2\lambda_2 \end{bmatrix}$$

将 KKT 点代入黑塞矩阵可得：

$$\begin{bmatrix} -\frac{4}{3} & 0 \\ 0 & -\frac{8}{3} \end{bmatrix}$$

黑塞矩阵的特征值为负，因此 KKT 点为局部极小点，但不一定是全局极小点。