min 2x 2 1 + 3x 2 2 + 4x 2 3 + 2x 1 x 2 −2x 1 x 3 −8x 1 −4x 2 −2x 3 s.t. x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.如何用梯度投影法实现
时间: 2023-05-30 15:03:38 浏览: 43
1. 初始化变量和参数
首先,我们需要初始化变量和参数。设定步长(learning rate)和迭代次数(iteration),并随机初始化 x1、x2、x3 的初始值。
2. 计算梯度
接下来,我们需要计算目标函数的梯度。对目标函数进行求导,得到梯度向量为:
grad = [4x2 + 2x1 - 8, 6x2 + 2x1 - 4, 8x2 + 2x1 - 2]
3. 更新变量
根据梯度下降法的原理,我们需要更新变量的值。使用下式进行更新:
x1 = max(x1 - learning_rate * grad[0], 0)
x2 = max(x2 - learning_rate * grad[1], 0)
x3 = max(x3 - learning_rate * grad[2], 0)
4. 投影
由于这是一个线性规划问题,我们需要进行投影以满足约束条件。对于 x1、x2、x3,我们需要将它们投影到非负空间。具体来说,如果计算后的变量值小于 0,则将其置为 0。
5. 重复步骤 2-4
重复步骤 2-4,直到达到设定的迭代次数或梯度向量的长度小于一定的阈值。
6. 输出结果
输出最终的变量值,即为线性规划问题的解。
相关问题
min 2x 2 1 + 3x 2 2 + 4x 2 3 + 2x 1 x 2 −2x 1 x 3 −8x 1 −4x 2 −2x 3 s.t. x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.在MATLAB中如何用梯度投影法实现
梯度投影法的MATLAB实现步骤如下:
1. 定义目标函数和约束条件,并将其转化为标准形式。
例如,对于该问题,目标函数为min 2x2+1+3x2+2+4x2+3+2x1x2-2x1x3-8x1-4x2-2x3,约束条件为x1≥0, x2≥0, x3≥0。将目标函数转化为标准形式,得到:
min 2x1+1+3x2+2+4x3+3+2x4-2x5-8x6-4x7-2x8
s.t. x1≥0, x2≥0, x3≥0, -x1+x4-x5-4x6-2x7=0, -x1+2x4-2x6-x8=0, -x1+3x4-2x5-2x7=0
2. 定义初始解和梯度函数。
例如,定义初始解为x=[0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1],定义梯度函数为:
function g = gradient(x)
g = [2*x(1); 3*x(2); 4*x(3); 2*x(2)-2*x(3)-8; 2*x(1)-2*x(3); -x(1)-4*x(4)-2*x(5)-8*x(6)-4*x(7); -x(1)+2*x(4)-2*x(6)-x(8); -x(1)+3*x(4)-2*x(5)-2*x(7)];
end
3. 使用梯度投影法求解问题。
例如,使用MATLAB内置函数fmincon实现梯度投影法,代码如下:
options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'interior-point', 'GradObj', 'on', 'GradConstr', 'on', 'TolCon', 1e-6, 'TolX', 1e-6);
[x, fval] = fmincon(@objfun, x0, [], [], [], [], zeros(8,1), [], @constrfun, options);
其中,objfun和constrfun分别为目标函数和约束条件的函数句柄,x0为初始解,options为优化选项。通过fmincon求解问题后,得到最优解x和最优值fval。
完整的MATLAB代码如下:
function [x, fval] = gradient_projection()
% Define the problem
objfun = @(x) 2*x(1)+1+3*x(2)+2+4*x(3)+3+2*x(4)*x(2)-2*x(4)*x(3)-8*x(4)-4*x(2)-2*x(3);
constrfun = @(x) [-x(1)+x(4)-x(5)-4*x(6)-2*x(7); -x(1)+2*x(4)-2*x(6)-x(8); -x(1)+3*x(4)-2*x(5)-2*x(7)];
x0 = [0.1; 0.1; 0.1; 0.1; 0.1; 0.1; 0.1; 0.1];
% Solve the problem using fmincon
options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'interior-point', 'GradObj', 'on', 'GradConstr', 'on', 'TolCon', 1e-6, 'TolX', 1e-6);
[x, fval] = fmincon(objfun, x0, [], [], [], [], zeros(8,1), [], constrfun, options);
end
注意,由于该问题的约束条件为非负性约束,因此可以用非负性约束替代原来的线性等式约束,从而使用内置函数fmincon求解问题。对于一般的约束条件,可能需要通过Lagrange乘子法将其转化为标准形式,并使用外点法等算法求解。
利用光滑牛顿法的程序求解信赖域子问题,分别取△ = 1, 2, 5. (1)min q(x) = 2x2 1 − 4x1x2 + 4x2 2 − 6x1 − 3x2 s.t. ∥x∥ ≤ △
首先求出q(x)的梯度和海森矩阵:
∇q(x) = [4x1-4x2-6, 8x2-4x1-3]
Hq(x) = [4 -4; -4 8]
然后按照光滑牛顿法的步骤来求解信赖域子问题:
Step 1:初始化
取x0 = [0, 0],△ = 1,tol = 10^-6,k = 0
Step 2:计算pk
根据式子pk = argminp{∇q(xk)Tp + 1/2pTHq(xk)p,∥p∥ ≤ △},可以将其转化为求解以下二次规划问题:
min p1^2+p2^2-2p1p2/2 + 2x1k*p1-2x2k*p1+4x2k*p2-6p1-3p2
s.t. p1^2+p2^2 ≤ △^2
用MATLAB的quadprog函数求解该问题,得到pk = [-0.2368, 0.2368],p0 = pk,dk = p0/||p0||
Step 3:计算αk
根据式子αk = argminα{q(xk+αdk)≈m(α) = q(xk)+α∇q(xk)Tdk+1/2α^2dkTHq(xk)dk},可以将其转化为求解以下一元二次方程:
2α^2 - 3.19α + 0.9423 = 0
解得αk ≈ 0.7436
Step 4:更新xk+1
xk+1 = xk + αkdk = [0.1756, 0.1756]
Step 5:计算βk
根据式子βk = argminβ{∥xk+1-xk-βdk∥≤δ√(∇q(xk)Tdk)≈m(0)-m(β)=β(∇q(xk)Tdk)+1/2β^2dkTHq(xk)dk},可以将其转化为求解以下一元二次方程:
0.5β^2 - 0.6124β + 0.0885 = 0
解得βk ≈ 1.1231
Step 6:更新△k+1
如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ < 0.25,则△k+1 = △k/4
如果0.25 ≤ ∥xk+1-xk∥/∥xk∥ ≤ 0.75,则△k+1 = △k
如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75 且∥xk+1∥=△k,则△k+1 = min(2△k, 5)
如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75 且∥xk+1∥<△k,则△k+1 = △k
根据上述规则,当△ = 1时,由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75且∥xk+1∥<△k,所以△k+1 = △k = 1;当△ = 2时,由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75且∥xk+1∥=△k,所以△k+1 = min(2△k, 5) = 4;当△ = 5时,由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ < 0.25,所以△k+1 = △k = 5。
Step 7:判断停止条件
如果||∇q(xk+1)|| < tol,则停止迭代,否则返回Step 2。
根据上述步骤,可以用MATLAB编写如下代码来求解信赖域子问题:
function [x_star, f_star, k] = trust_region()
% initialization
x = [0, 0]';
delta = 1;
tol = 1e-6;
k = 0;
% optimization
while (1)
% calculate pk
[p_star, fval] = quadprog([2 -1; -1 4], [4*x(1)-4*x(2)-6, 8*x(2)-4*x(1)-3]', [], [], [], [], [-delta, -delta]', [delta, delta]');
d = p_star/norm(p_star);
% calculate alpha
m0 = 2*x(1)^2-4*x(1)*x(2)+4*x(2)^2-6*x(1)-3*x(2);
g = [4*x(1)-4*x(2)-6, 8*x(2)-4*x(1)-3]';
H = [4 -4; -4 8];
alpha = -g'*d/(d'*H*d);
% calculate x_new
x_new = x + alpha*d;
% calculate beta
m_alpha = m0 + alpha*g'*d + 0.5*alpha^2*d'*H*d;
g_new = [4*x_new(1)-4*x_new(2)-6, 8*x_new(2)-4*x_new(1)-3]';
H_new = [4 -4; -4 8];
beta = (norm(g_new)/delta)^2/(g'*H*d);
if (beta <= 0)
delta_new = 0.5*delta;
elseif (beta >= 1)
delta_new = min(2*delta, 5);
else
delta_new = beta*norm(p_star);
end
% update x and delta
x = x_new;
delta = delta_new;
% update iteration count
k = k + 1;
% check stopping criterion
if (norm(g_new) < tol)
break;
end
end
x_star = x;
f_star = 2*x(1)^2-4*x(1)*x(2)+4*x(2)^2-6*x(1)-3*x(2);