∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。

将积分区域 E 转换为球坐标系下的积分区域，有：

1 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ φ ≤ π

因此，可以将原积分转化为：

∫_0^π ∫_0^(2π) ∫_1^3 e^(-r^2) r^2 sinφ dr dθ dφ

由于积分区域对 θ 和 φ 没有限制，因此可以将二重积分提到最外层，得到：

∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr ∫_0^π sinφ dφ ∫_0^(2π) dθ

对于 ∫_0^π sinφ dφ，有：

∫_0^π sinφ dφ = [-cosφ]_0^π = 2

对于 ∫_0^(2π) dθ，有：

∫_0^(2π) dθ = 2π

因此，可以将原积分化简为：

∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr * 2π * 2

通过变量代换 u = r^2，可以将原积分化为：

∫_1^9 e^(-u) du * π

解这个积分，有：

∫_1^9 e^(-u) du = [-e^(-u)]_1^9 = e^(-1) - e^(-9)

因此，最终的积分结果为：

π * (e^(-1) - e^(-9)) * 4

或者：

4π / (e - e^(-9))