∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。

将积分区域 E 转换为球坐标系下的积分区域，有：

1 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ φ ≤ π

因此，可以将原积分转化为：

∫_0^π ∫_0^(2π) ∫_1^3 e^(-r^2) r^2 sinφ dr dθ dφ

由于积分区域对 θ 和 φ 没有限制，因此可以将二重积分提到最外层，得到：

∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr ∫_0^π sinφ dφ ∫_0^(2π) dθ

对于 ∫_0^π sinφ dφ，有：

∫_0^π sinφ dφ = [-cosφ]_0^π = 2

对于 ∫_0^(2π) dθ，有：

∫_0^(2π) dθ = 2π

因此，可以将原积分化简为：

∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr * 2π * 2

通过变量代换 u = r^2，可以将原积分化为：

∫_1^9 e^(-u) du * π

解这个积分，有：

∫_1^9 e^(-u) du = [-e^(-u)]_1^9 = e^(-1) - e^(-9)

因此，最终的积分结果为：

π * (e^(-1) - e^(-9)) * 4

或者：

4π / (e - e^(-9))

相关问题

用球坐标计算三重积分 ∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。

首先，由球坐标的转换公式可得，$x=r\sin\theta\cos\phi$，$y=r\sin\theta\sin\phi$，$z=r\cos\theta$。

则球 $x^2+y^2+z^2=1$ 对应的球坐标为 $0\leq r\leq 1$，$0\leq\theta\leq\pi$，$0\leq\phi\leq 2\pi$。

球 $x^2+y^2+z^2=9$ 对应的球坐标为 $1\leq r\leq 3$，$0\leq\theta\leq\pi$，$0\leq\phi\leq 2\pi$。

因此，原三重积分可表示为

$$
\begin{aligned}
&\iiint_Ee^{-(x^2+y^2+z^2)}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}V\\
=&\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_1^3e^{-r^2}r^3\sin\theta\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\\
=&2\pi\int_0^\pi\sin\theta\mathrm{d}\theta\int_1^3e^{-r^2}r^3\mathrm{d}r\\
=&\pi\bigg[-\frac{1}{2}e^{-r^2}(r^2+2)\bigg]_1^3\\
=&\frac{\pi}{2}(e^{-1}-e^{-9})(11)
\end{aligned}
$$

因此，所求结果为 $\frac{\pi}{2}(e^{-1}-e^{-9})(11)$。

用高斯公式计算三重积分∭=zdxdydz，其中Ω是由锥面z=√（x^2+y^2）与平面z=1所围成的闭区域.

### 回答1：
高斯公式是用来计算定积分的一种方法。如果您想计算三重积分∭zdxdydz，其中Ω是由锥面z=√（x^2 y^2）与平面z=1所围成的闭区域，您需要将题目中的数学式进行定义域的变换，然后使用高斯公式进行计算。

需要注意的是，三重积分的计算往往需要一定的数学知识，如果不熟悉高斯公式或者对变量的定义域不确定，可能需要寻求专业人员的帮助。

### 回答2：
首先，我们需要确定Ω的边界。

由z=√（x^2 + y^2）可知，在xy平面上，z=√（x^2 + y^2）为一个圆锥。而在z=1平面上，z=1则是一个平面。

两个表面交线上的点满足z=√（x^2 + y^2）=1，即x^2 + y^2 = 1，它是一个单位圆。

因此，Ω是一个圆锥在z=1平面上的投影，它的边界是一个单位圆。

接下来，我们可以使用高斯公式进行计算三重积分。

高斯公式表示为∭V P dV = ∮S P * n dS，其中V是Ω的体积，S是Ω的边界，P是要积分的函数，n是边界S上指向Ω外部的法向量，dV和dS分别是体积元和面元。

在这个问题中，我们有P=z，因此要计算的三重积分为∭Ω zdxdydz。

由于Ω是一个圆锥在z=1平面上的投影，因此可以用极坐标来表示Ω内的点。

令x=r*cosθ，y=r*sinθ，其中r为极径，θ为极角，则边界上的点可以表示为r=1，0≤θ≤2π。

此时，体积元dV=rdrdθdz，边界上的法向量n指向z轴正方向。

代入高斯公式，三重积分可化简为∭Ω zdxdydz = ∬S z * n dS。

由于边界是一个平面，法向量n指向z轴正方向，因此∬S z * n dS = ∬S zdS。

再次利用极坐标表示，可将边界上的面元dS转换为rdrdθ，边界上的点满足r=1，0≤θ≤2π。

因此，∬S zdS = ∫0^1 ∫0^(2π) zrdrdθ。

最后，根据z=r，进行计算得到∭Ω zdxdydz = ∫0^1 ∫0^(2π) r^2 drdθ。

根据高斯公式计算的结果，三重积分的值为1/3π。

### 回答3：
首先，根据题目所给的闭区域Ω，我们可以得到该区域在xy平面上的投影为x^2 + y^2 ≤ 1，即单位圆盘。

接下来我们利用高斯公式计算三重积分∭=zdxdydz：

根据高斯公式，该三重积分可以转化为对Ω边界的面积分，即

∭ zdxdydz = ∬(Ω) z dS

其中dS表示面积分的微元，Ω表示xy平面上单位圆盘的投影。

在Ω上，z的取值范围是由z=√（x^2 y^2）与z=1所围成的区域，因此z的取值范围是[√（x^2 y^2），1]。

当z=√（x^2 y^2）时，对应的是Ω边界上的点(x, y, √（x^2 y^2）)。

当z=1时，对应的是Ω边界上的点(x, y, 1)。

因此，我们可以写出面积分的积分表达式：

∬(Ω) zdS = ∫∫(Ω) [√（x^2 y^2），1] zdxdy

由于Ω是单位圆盘的投影，在直角坐标系中可以采用极坐标系进行计算。

在极坐标系中，x = r*cosθ，y = r*sinθ。

利用雅可比行列式的相关知识，可以将面积元素dS表示为dxdy的形式，即 dS = rdrdθ。

因此，面积分可以转化为极坐标系下的积分：

∫∫(Ω) [√（x^2 y^2），1] zdxdy = ∫(0 to 2π) ∫(0 to 1) [√（r^2 *cos^2θ * r^2 * sin^2θ），1] r dr dθ

对上式进行计算，可以得到最终的结果。