传递函数C(s)/R(s)=3/(s(s^2+6s+5))的根轨迹增益为

根轨迹增益是指根轨迹与虚轴的交点到原点的距离，记为K。对于传递函数C(s)/R(s)=3/(s(s^2+6s+5))，我们可以通过找出根轨迹的方程来计算增益K。

首先，我们需要求解传递函数的特征方程的根。特征方程为s^3 + 6s^2 + 5s = 0。将其因式分解得到(s+1)(s+5)(s)=0，解得s=-1，s=-5，s=0。

接下来，我们可以绘制根轨迹。根轨迹的绘制规则是：对于传递函数的特征方程，将s替换为σ+jω，其中σ为实部，ω为虚部，然后计算特征方程的根。通过改变σ的值，我们可以得到不同的根。根轨迹增益K的值即为使根轨迹与虚轴交点到原点的距离。

由于传递函数的特征根有一个在原点，因此根轨迹的起点为原点。而传递函数中的零点仅有一个在原点，所以根轨迹的终点也是原点。

综上所述，对于传递函数C(s)/R(s)=3/(s(s^2+6s+5))，根轨迹增益K为0。

相关问题

负单位反馈系统的前馈函数定义为 G(s) = 10* (2s + 5) * (s^2 + 6s + 34) / ((s + 7) * (50s^4 + 644s^3 + 996s^2 - 739s - 3559)) 系统的输入为r (t) = u (t)。其中K=25。 您将需要提供一个Matlab代码来计算以下值，在命令行窗口输出值，并且显示在根轨迹图中。 （1）渐近线与实轴的交点σa （2）渐近线与实轴的夹角ϴa （3）分离点 （4）根轨迹与虚轴的交点。 解释：渐近线是无穷远处极点或零点的线，由其与实数轴的交点和其与实数轴的夹角确定。分离点为两个极点间存在根轨迹会在一个点进行分离。

以下是计算步骤和Matlab代码：

步骤1：计算系统的开环传递函数

num = 10 * [2, 5, 1, 34];  % 分子系数
den = conv([1, 7], [50, 644, 996, -739, -3559]);  % 分母系数
G = tf(num, den);  % 创建传递函数

步骤2：计算系统的根轨迹

rlocus(K * G);  % 绘制根轨迹

步骤3：计算渐近线和分离点

[num, den] = tfdata(G);
p = roots(den);
z = roots(num);
n = length(p) - length(z);
sigma_a = real(sum(p) - sum(z)) / n;  % 计算渐近线与实轴的交点
theta_a = (2 * (0:n-1) + 1) * pi / (2 * n) - angle(den(end));  % 计算渐近线与实轴的夹角
sep_points = rlocus(K * G, 1i * linspace(-10, 10, 10000));  % 计算根轨迹与虚轴的交点
sep_points = sep_points(imag(sep_points) ~= 0);

步骤4：在命令行窗口输出结果

disp(['渐近线与实轴的交点: ', num2str(sigma_a)]);
disp(['渐近线与实轴的夹角: ', num2str(theta_a * 180 / pi), '°']);
disp(['分离点: ', num2str(sep_points)]);

步骤5：显示根轨迹图

title('Root Locus');
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');
grid on;

完整的Matlab代码如下：

num = 10 * [2, 5, 1, 34];  % 分子系数
den = conv([1, 7], [50, 644, 996, -739, -3559]);  % 分母系数
G = tf(num, den);  % 创建传递函数

K = 25;  % 比例增益
rlocus(K * G);  % 绘制根轨迹

[num, den] = tfdata(G);
p = roots(den);
z = roots(num);
n = length(p) - length(z);
sigma_a = real(sum(p) - sum(z)) / n;  % 计算渐近线与实轴的交点
theta_a = (2 * (0:n-1) + 1) * pi / (2 * n) - angle(den(end));  % 计算渐近线与实轴的夹角
sep_points = rlocus(K * G, 1i * linspace(-10, 10, 10000));  % 计算根轨迹与虚轴的交点
sep_points = sep_points(imag(sep_points) ~= 0);

disp(['渐近线与实轴的交点: ', num2str(sigma_a)]);
disp(['渐近线与实轴的夹角: ', num2str(theta_a * 180 / pi), '°']);
disp(['分离点: ', num2str(sep_points)]);

title('Root Locus');
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');
grid on;

某系统单位负反馈系统的开环传递函数为𝐺𝐺(𝑠𝑠) = K∗ s(𝑠𝑠+2)(𝑠𝑠+3) （1）试概略绘制系统根轨迹。 （2）求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点。 （3）求出系统不稳定时根轨迹增益𝐾𝐾∗的取值范围。

(1) 根据根轨迹的定义，系统的根轨迹是由开环传递函数的极点随着 K 的变化而移动所形成的轨迹。首先，我们可以求出开环传递函数的极点：

s(𝑠+2)(𝑠+3)=0

得到极点为 s=0、s=-2 和 s=-3。

然后，根据根轨迹的规律，当 K 从 0 到正无穷大变化时，根轨迹从左半平面出发，向右下方移动，最终到达左半平面的无穷远点。同时，当 K=0 时，根轨迹位于极点 s=0、s=-2 和 s=-3 之间的实轴上，当 K→∞ 时，根轨迹趋近于垂直于实轴的直线。

综上所述，可以概略绘制出系统的根轨迹如下图所示：


(2) 当 K 为临界根轨迹增益时，根轨迹经过 s=-1 的点，此时系统的三个闭环极点都位于虚轴上。根据特征方程可以求得：

s^3 + 5s^2 + 6s + K = 0

当根轨迹经过 s=-1 时，有：

K = |-1(1+2)(1+3)| = 6

将 K=6 代入特征方程，解得三个闭环极点为：

s=-3.7321i、s=-1、s=-0.2679i

(3) 当系统不稳定时，特征方程的实部存在正数，即：

K<0 或 K>(2+3+1)×2=12

因此，系统不稳定时，根轨迹增益 K∗的取值范围为 K<0 或 K>12。