多网格法 matlab代码

多网格法（multigrid method）是一种用于快速求解偏微分方程的数值方法。其基本思想是将问题在不同精度的网格上进行迭代求解，通过在粗网格上求解得到的残差用于加速在细网格上的求解过程。

以下是一个使用Matlab实现的简单多网格法代码示例：

function u = multigrid(f, u, num_cycles, num_levels)
   
    if(num_levels == 0)
        u = solve(f, u); % 在最精细的网格上直接求解
        return;
    end
    
    for i = 1:num_cycles
        % 先对当前粗网格上的问题进行平滑操作
        u = smooth(u, f);
        
        % 计算残差
        r = compute_residual(f, u);
        
        % 通过限制性条件，将残差投影到粗网格上
        r_coarse = restrict(r);
        
        % 在粗网格上递归调用多网格方法
        e_coarse = multigrid(r_coarse, zeros(size(r_coarse)), num_cycles, num_levels-1);
        
        % 将粗网格上得到的误差插值到细网格上
        e_interp = interpolate(e_coarse);
        
        % 在细网格上进行纠正操作
        u = u + e_interp;
        
        % 再进行一次平滑操作
        u = smooth(u, f);
    end
    
end

function u = smooth(u, f)
    % 使用迭代方法进行平滑操作，此处使用简单泛化的Jacobi迭代方法
    for i = 1:10
        u = (u + laplacian(u) - f) ./ 4;
    end
end

function r = compute_residual(f, u)
    % 计算残差，此处求解的是Poisson方程
    r = laplacian(u) - f;
end

function l = laplacian(u)
    % 计算拉普拉斯算子
    [m, n] = size(u);
    l = zeros(m, n);
    
    for i = 2:m-1
        for j = 2:n-1
            l(i, j) = 4 * u(i, j) - u(i-1, j) - u(i+1, j) - u(i, j-1) - u(i, j+1);
        end
    end
end

function r_coarse = restrict(r)
    % 限制残差到粗网格上，此处使用简单的加权平均分配给粗网格节点
    [m, n] = size(r);
    r_coarse = zeros(m/2, n/2);
    
    for i = 2:m/2-1
        for j = 2:n/2-1
            r_coarse(i, j) = (r(2*i-1, 2*j-1) + r(2*i+1, 2*j-1) + r(2*i-1, 2*j+1) + r(2*i+1, 2*j+1)) / 4;
        end
    end
end

function e_interp = interpolate(e_coarse)
    % 将粗网格上得到的误差插值到细网格上，此处使用简单的双线性插值
    [m, n] = size(e_coarse);
    e_interp = zeros(2*m,2*n);
    
    for i = 1:m-1
        for j = 1:n-1
            e_interp(2*i, 2*j) = e_coarse(i, j);
            e_interp(2*i, 2*j+1) = (e_coarse(i, j) + e_coarse(i, j+1)) / 2;
            e_interp(2*i+1, 2*j) = (e_coarse(i, j) + e_coarse(i+1, j)) / 2;
            e_interp(2*i+1, 2*j+1) = (e_coarse(i, j) + e_coarse(i, j+1) + e_coarse(i+1, j) + e_coarse(i+1, j+1)) / 4;
        end
    end
end

function u = solve(f, u)
    % 在最精细的网格上直接求解，此处使用MATLAB内置的求解器
    u = poisson_solver(u, f);
end

这段代码实现了一个简化的多网格法求解Poisson方程。其中，主函数`multigrid`实现了多网格循环迭代过程，包括平滑操作、计算残差、限制残差和插值误差等步骤。辅助函数`smooth`和`solve`分别实现了平滑操作和在最精细网格上的求解。其他函数实现了一些必要的计算操作，如计算拉普拉斯算子、限制残差和插值误差等。