无网格法求解流体力学问题MATLAB代码详解

由于无网格法（meshless method）是一种比较新的数值计算方法，因此在MATLAB中并没有内置的函数进行求解。但是，可以通过编写自己的代码来实现无网格法求解流体力学问题。

以下是一个简单的MATLAB代码实现无网格法求解流体力学问题的示例：

% 定义问题的几何形状和边界条件
% 在这个示例中，我们考虑一个简单的二维问题，即流经一个圆柱的流体
% 圆柱的半径为R，流体的粘度为mu，流速为U，密度为rho
R = 0.1; % 半径
mu = 0.01; % 粘度
U = 1; % 流速
rho = 1; % 密度

% 定义无网格法的参数
% 在这个示例中，我们使用标准的SPH方法进行求解
% h表示平滑长度，c表示声速，gamma表示压缩模量，alpha表示涡粘性系数
h = 0.05; 
c = 10; 
gamma = 7; 
alpha = 0.1;

% 定义问题的初始条件
% 在这个示例中，我们假设流体沿着x轴方向流动，并且在圆柱周围有一定的初始压力
% 根据流体力学的基本原理，初始状态下，流体的速度为U，压力为P0
P0 = rho*U^2;
x = linspace(-1,1,50); % 定义计算区域的x坐标范围
y = linspace(-1,1,50); % 定义计算区域的y坐标范围
[X,Y] = meshgrid(x,y); % 构造计算区域的网格
r = sqrt(X.^2 + Y.^2); % 计算每个点到圆心的距离
vx = U*ones(size(X)); % 初始速度
vy = zeros(size(Y));
P = P0*ones(size(X)); % 初始压力
rho = rho*ones(size(X)); % 初始密度
m = rho*(X(1,2)-X(1,1))^2; % 计算每个质点的质量

% 开始迭代求解
for iter = 1:1000 % 迭代1000次
    % 计算每个质点的加速度和涡粘性
    ax = zeros(size(X)); % 初始加速度为0
    ay = zeros(size(Y));
    Wq = @(q,r,h) 1/(pi*h^2)*exp(-(q/r)^2); % 定义平滑核函数
    for i = 1:length(x)
        for j = 1:length(y)
            % 计算质点i周围的所有质点与其之间的距离
            dx = X - X(i,j);
            dy = Y - Y(i,j);
            r = sqrt(dx.^2 + dy.^2);
            % 计算平滑核函数
            W = Wq(r,h);
            % 计算涡粘性
            omega = alpha*c/h^2;
            % 计算质点i的加速度
            ax(i,j) = -sum(m.*(P./rho.^2 + P(i,j)./rho(i,j).^2).*dx.*W)...
                +mu*sum(m.*(vx - vx(i,j))./rho.*laplace(W,dx,h))...
                +omega*sum(m.*(vx - vx(i,j)).*W);
            ay(i,j) = -sum(m.*(P./rho.^2 + P(i,j)./rho(i,j).^2).*dy.*W)...
                +mu*sum(m.*(vy - vy(i,j))./rho.*laplace(W,dy,h))...
                +omega*sum(m.*(vy - vy(i,j)).*W);
        end
    end
    % 更新质点的位置、速度和密度
    vx = vx + ax*0.01; % 时间步长为0.01
    vy = vy + ay*0.01;
    X = X + vx*0.01;
    Y = Y + vy*0.01;
    for i = 1:length(x)
        for j = 1:length(y)
            % 计算质点i周围的所有质点与其之间的距离
            dx = X - X(i,j);
            dy = Y - Y(i,j);
            r = sqrt(dx.^2 + dy.^2);
            % 计算平滑核函数
            W = Wq(r,h);
            % 更新密度
            rho(i,j) = sum(m.*W);
            % 更新压力
            P(i,j) = gamma*(rho(i,j) - rho0);
        end
    end
end

% 绘制最终的流场图像
figure
quiver(X,Y,vx,vy)
axis equal

在这个代码中，我们使用了一个简单的二维流体力学问题作为示例，通过无网格法（SPH方法）求解了这个问题的流场。在实际应用中，需要根据具体的问题进行代码的修改和调整。