分层单存形法求解该完全分层多目标规划问题

分层单存形法（Lexicographic Goal Programming）可以用来求解完全分层多目标规划问题。该方法将多目标规划问题转化为一系列单目标规划问题，对每个单目标规划问题进行求解，直到得到一个满足所有目标函数约束的解。

具体地，分层单存形法的求解过程如下：

1. 将目标函数按重要性顺序排序，得到 $f_1(x) \geq f_2(x) \geq ... \geq f_m(x)$。

2. 对于每个目标函数 $f_k(x)$，定义一个偏差变量 $d_k$，并对其进行约束，得到单目标规划问题：

$\max\limits_{x\in X} f_k(x)$

s.t. $f_j(x) - f_j^* \leq d_j$，对 $j = 1,2,...,k-1$，其中 $f_j^*$ 为目标函数 $f_j(x)$ 的目标值。

$d_j \geq 0$，对 $j = 1,2,...,k-1$。

上述模型的含义是，对于目标函数 $f_k(x)$，最大化其值；对于目标函数 $f_j(x)$，要求其偏差 $d_j$ 不超过目标值与已确定目标函数的最优值之差。

3. 解决单目标规划问题：对于每个单目标规划问题，可以采用现有的单目标规划方法（如线性规划、非线性规划等）进行求解，得到一个最优解 $x_k^*$。

4. 检验解的可行性：对于每个解 $x_k^*$，检验其是否满足所有目标函数约束条件。

5. 更新目标函数约束：如果某个解 $x_k^*$ 不满足某个目标函数约束条件，则将该目标函数的偏差 $d_j$ 增加一定的量，重新求解单目标规划问题；如果所有解都满足所有目标函数约束条件，则得到了一个最优解。

在本题中，按照重要性顺序排序的目标函数为 $f_1(x) = -(x_1 + x_2 - 1)^2$，$f_2(x) = -(2 - x_1 - x_2)^2$ 和 $f_3(x) = -x_1$。按照上述步骤，可以得到如下的分层单存形模型：

Step 1: $f_1(x) \geq f_2(x) \geq f_3(x)$

Step 2:

Maximize $f_1(x)$

subject to:

$-(x_1 + x_2 - 1)^2 - f_1^* \leq d_1$

$d_1 \geq 0$

Maximize $f_2(x)$

subject to:

$-(2 - x_1 - x_2)^2 - f_2^* \leq d_2$

$d_2 \geq 0$

Maximize $f_3(x)$

subject to:

$-x_1 - f_3^* \leq d_3$

$d_3 \geq 0$

Step 3:

Solve the following single objective problems in order:

1. Maximize $f_1(x)$

2. Maximize $f_2(x)$ subject to $-(x_1 + x_2 - 1)^2 - f_1^* \leq d_1$ and $d_1 \geq 0$

3. Maximize $f_3(x)$ subject to $-(x_1 + x_2 - 1)^2 - f_1^* \leq d_1$, $-(2 - x_1 - x_2)^2 - f_2^* \leq d_2$ and $d_1, d_2 \geq 0$

Step 4: Check the feasibility of the solutions obtained in Step 3.

Step 5: If any of the obtained solutions violates any of the objective function constraints, increase the corresponding deviation variable and repeat Steps 3-4; otherwise, the obtained solution is optimal.

需要注意的是，分层单存形法得到的解并不一定是帕累托最优解，而是满足目标函数约束的最优解。