使用动态规划实现最长公共子序列问题

最长公共子序列问题是指给定两个字符串S1和S2，找出它们的最长公共子序列。子序列是指从原序列中删除若干个字符后得到的新序列。

动态规划求解最长公共子序列问题的基本思路是：首先定义状态，然后设计状态转移方程，最后通过填表法求解问题。

状态定义：

设S1和S2的长度分别为m和n，定义dp[i][j]表示S1的前i个字符和S2的前j个字符的最长公共子序列长度。

状态转移方程：

当S1[i]==S2[j]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，即S1的第i个字符和S2的第j个字符相等，那么它们一定属于最长公共子序列中，此时最长公共子序列长度加1。

当S1[i]!=S2[j]时，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])，即S1的第i个字符和S2的第j个字符不相等，那么它们一定不属于最长公共子序列中，此时最长公共子序列长度不变，需要在S1的前i-1个字符和S2的前j个字符中找到最长公共子序列；或者在S1的前i个字符和S2的前j-1个字符中找到最长公共子序列，取两者中的最大值。

最终答案：

dp[m][n]表示S1和S2的最长公共子序列长度。

代码实现：

以下是Python代码实现最长公共子序列问题的动态规划算法：

def lcs(str1, str2):
m = len(str1)
n = len(str2)
dp = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if str1[i-1] == str2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[m][n]