旅行商问题的2近似算法

旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条路径，使得经过所有城市并返回起点的总路程最短。由于该问题属于NP-hard问题，因此没有已知的多项式时间算法可以解决。

但是，有一些近似算法可以用来求解旅行商问题。其中，最简单的是2近似算法，它的思路是：

1. 任选一个城市作为起点。

2. 从起点出发，每次选择距离当前城市最近的未访问城市，并将其加入路径中。

3. 最后回到起点，得到一条哈密顿回路。

4. 计算该哈密顿回路的总路程，得到一个最小的上界。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为城市数量。它可以得到旅行商问题的最小哈密顿回路长度的上界，该上界不会超过最优解的两倍。

另一个2近似算法是Christofides算法，它的基本思路是：

1. 任选一个城市作为起点。

2. 从起点出发，每次选择距离当前城市最近的未访问城市，并将其加入路径中。

3. 得到一条哈密顿回路。

4. 对该哈密顿回路进行欧拉化，即在其中插入一些边，使得每个顶点的度数都为偶数。

5. 对欧拉回路进行缩点，得到一棵生成树。

6. 对生成树进行深度优先遍历，得到一条哈密顿回路。

7. 计算该哈密顿回路的总路程，得到一个最小的上界。

该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为城市数量。它可以得到旅行商问题的最小哈密顿回路长度的上界，该上界不会超过最优解的1.5倍。

相关问题

用c++求解旅行商问题的近似算法

旅行商问题是一个NP完全问题，没有一种有效的算法可以在多项式时间内解决它。因此，我们需要使用近似算法来解决它。

其中比较常用的是 Christofides 算法，基本思路如下：

1. 首先，我们通过最小生成树算法求出图的最小生成树。

2. 然后，我们找到最小生成树中所有奇度节点，将这些节点连接起来形成一个子图。

3. 在子图中，我们使用最小权重完美匹配算法（例如，使用带权重的匈牙利算法）来找到最小权重的匹配。

4. 将这些匹配边加入原来的最小生成树中，形成一个欧拉回路。

5. 最后，我们可以通过欧拉回路来构建一个哈密顿回路，这个哈密顿回路就是 TSP 的近似解。

下面是使用 C++ 实现 Christofides 算法的简单代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

// 图的邻接矩阵
int graph[MAXN][MAXN];
// 节点的度数
int degree[MAXN];
// 保存欧拉回路的路径
vector<int> path;

// 最小生成树算法
void prim(int n, int start) {
    bool visited[MAXN] = { false };
    int dist[MAXN];
    memset(dist, INF, sizeof(dist));
    dist[start] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int u = -1;
        int minDist = INF;
        // 找到未访问过的距离 start 最近的节点
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (!visited[j] && dist[j] < minDist) {
                u = j;
                minDist = dist[j];
            }
        }
        if (u == -1) {
            return;
        }
        visited[u] = true;
        // 更新与 u 相邻的节点的距离
        for (int v = 0; v < n; v++) {
            if (!visited[v] && graph[u][v] < dist[v]) {
                dist[v] = graph[u][v];
            }
        }
    }
}

// 求解节点的度数
void getDegree(int n) {
    memset(degree, 0, sizeof(degree));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (graph[i][j] != INF) {
                degree[i]++;
            }
        }
    }
}

// 查找欧拉回路
bool findEulerPath(int u, int n) {
    for (int v = 0; v < n; v++) {
        if (graph[u][v] != INF && degree[u] > 0) {
            degree[u]--;
            degree[v]--;
            graph[u][v] = INF;
            graph[v][u] = INF;
            findEulerPath(v, n);
        }
    }
    path.push_back(u);
    return true;
}

// 求解 TSP 近似解
int tsp(int n) {
    int start = 0;
    // 求解最小生成树
    prim(n, start);
    // 求解所有奇度节点
    getDegree(n);
    vector<int> odds;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (degree[i] % 2 == 1) {
            odds.push_back(i);
        }
    }
    // 求解最小权重完美匹配
    int minWeight = INF;
    for (int i = 0; i < odds.size(); i++) {
        for (int j = i + 1; j < odds.size(); j++) {
            int u = odds[i];
            int v = odds[j];
            int w = graph[u][v];
            if (w < minWeight) {
                minWeight = w;
            }
        }
    }
    // 加入完美匹配边
    for (int i = 0; i < odds.size(); i++) {
        for (int j = i + 1; j < odds.size(); j++) {
            int u = odds[i];
            int v = odds[j];
            int w = graph[u][v];
            if (w == minWeight) {
                graph[u][v] = minWeight;
                graph[v][u] = minWeight;
            }
        }
    }
    // 查找欧拉回路
    path.clear();
    findEulerPath(start, n);
    // 构建哈密顿回路
    vector<bool> visited(n, false);
    int ans = 0;
    for (int i = path.size() - 1; i >= 0; i--) {
        int u = path[i];
        if (!visited[u]) {
            ans += graph[start][u];
            start = u;
            visited[u] = true;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    memset(graph, INF, sizeof(graph));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        graph[u][v] = w;
        graph[v][u] = w;
    }
    int ans = tsp(n);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

注意，这个实现并不是最优的，只是为了方便理解。在实际应用中，我们可以使用更高效的数据结构来存储图，例如邻接表。同时，我们也可以使用更快的算法来求解最小生成树和最小权重完美匹配，例如 Kruskal 算法和 Kuhn-Munkres 算法。

近似算法解旅行商问题的代码

是使用贪心算法求解TSP问题的近似算法代码，其中假设距离矩阵为dist，n为城市数量：

def tsp(dist, n):
    # 初始化路径和距离
    path = [0] * n
    visited = [False] * n
    path[0] = 0
    visited[0] = True
    length = 0

    # 从第一个城市开始遍历
    for i in range(1, n):
        min_dist = float('inf')
        next_city = -1
        # 找到距离当前城市最近的未访问城市
        for j in range(n):
            if not visited[j] and dist[path[i-1]][j] < min_dist:
                min_dist = dist[path[i-1]][j]
                next_city = j
        # 将该城市加入路径中
        path[i] = next_city
        visited[next_city] = True
        length += min_dist

    # 回到起点
    length += dist[path[n-1]][0]
    path[n-1] = 0

    return path, length

该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以在较短时间内求解较小规模的TSP问题。