多通道卷积的数学公式

多通道卷积的数学公式如下所示：
$$
\begin{aligned}
y_{i, j, k} &= \sum_{l=1}^{C} \sum_{m=0}^{F_h-1} \sum_{n=0}^{F_w-1} w_{m, n, c, k} x_{(i+m), (j+n), c} + b_k \\
&= \sum_{l=1}^{C} (w_k * x_c_{i, j} + b_k
\end{aligned}
$$
其中，$y_{i,j,k}$表示输出特征图中第$k$个通道在位置$(i,j)$的值，$C$表示输入特征图的通道数，$F_h$和$F_w$分别表示卷积核的高度和宽度，$w_{m,n,c,k}$表示卷积核在第$c$个通道和第$k$个通道、第$m$行和第$n$列的权重值，$x_{(i+m),(j+n),c}$表示输入特征图在第$c$个通道、第$(i+m)$行和第$(j+n)$列的值，$b_k$表示第$k$个通道的偏置值，$*$表示卷积操作。

相关问题

卷积层的数学公式和非线性激活函数的数学公式

卷积层的数学公式可以表示为：$$
\boldsymbol{y}_{i, j, k}=\sum_{l=1}^{L} \sum_{m=1}^{M} \sum_{n=1}^{N} \boldsymbol{w}_{l, m, n, k} \cdot \boldsymbol{x}_{i+l-1, j+m-1, n}
$$
其中，$\boldsymbol{x}$ 表示输入的特征图，$\boldsymbol{w}$ 表示卷积核，$L,M,N$ 表示卷积核的长、宽、深度，$k$ 表示输出的通道数，$i,j$ 分别表示当前卷积窗口的在输入特征图中的位置。

非线性激活函数的数学公式有很多种，其中比较常见的有 Sigmoid 函数和 ReLU 函数：

Sigmoid 函数公式：$$
\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}
$$

ReLU 函数公式：$$
\text{ReLU}(x)=\max(0,x)
$$

其中，$x$ 表示输入的值。

卷积的等效特性解释公式

卷积神经网络（Convolutional Neural Networks, CNN）中的卷积操作具有特殊的等效特性，即它可以通过矩阵运算来表示，这种等效性通常体现在滤波器（也称为卷积核或滤波器矩阵）和输入信号的乘积上。卷积的数学表示可以用如下公式来概括：

设输入信号为 \( I \)（通常是一个三维张量，包含多个通道），滤波器为 \( K \)，步长为 \( s \)，填充（zero-padding）为 \( p \)，输出特征图为 \( O \)，那么卷积操作可以表示为：

\[ O_{i,j,k} = (I * K)_{i,j,k} = \sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{L-1} I_{(i+p)m+(j+p)n+k,l} \cdot K_{m,n,l} \]

其中，\( M \) 和 \( N \) 是滤波器的宽度和高度，\( L \) 是输入信号的深度（通道数）。\( i, j \) 是输出特征图的索引，\( O_{i,j,k} \) 是对应位置的输出值。

这个公式的意思是，对于每个输出特征图的位置，我们把滤波器滑动到输入信号的相应位置，然后对每一个位置上的局部区域进行元素乘法，并求和，得到输出的值。