matlab余弦波叠加成方波

### 使用MATLAB实现多个余弦波叠加形成方波

为了生成一个近似于方波的信号，可以通过叠加多个奇数次谐波的余弦波来实现。具体来说，方波可以表示为一系列不同频率和幅度的余弦波之和。

#### 方波的傅里叶级数展开
方波可以用无穷项的傅里叶级数表示：

\[ f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,\ldots}^{\infty} \left(\frac{1}{n}\right)\cos(n\omega t) \]

其中 \( n \) 是奇数，\( \omega \) 表示角频率[^2]。

下面是一个具体的 MATLAB 实现例子，用于创建由多个余弦波组成的方波：

function square_wave_from_cosines()
    % 参数设置
    T = 1;                    % 周期 (秒)
    fs = 1000;                % 采样率 (Hz)
    t = linspace(-T/2,T/2,fs);% 时间向量
    
    N_harmonics = 9;          % 谐波数量（仅考虑前几个奇数）
    
    y = zeros(size(t));       % 初始化输出信号
    
    for k = 1:N_harmonics      % 遍历各阶谐波
        n = 2*k-1;
        omega_n = 2*pi*n/T;   % 计算当前谐波的角频率
        
        % 添加第k个谐波到总和中
        y = y + cos(omega_n*t)/(n);
        
        pause(0.5);           % 暂停以便观察逐步变化过程
        plot(t,y,'LineWidth',2);
        axis([-T/2 T/2 -1.5 1.5]);
        xlabel('时间(s)');
        ylabel('幅度');
        title(['合成中的方波: ', num2str(k), 'th Harmonic']);
        drawnow();
    end
    
    figure();                 % 新建图形窗口显示最终结果
    plot(t,y,'r','LineWidth',2);
    hold on;
    grid minor;
    xlim([-T/2 T/2]);
    ylim([-1.5 1.5]);
    legend({'Final Square Wave'});
end

这段程序会逐层增加更多的谐波分量，并动态展示每次更新后的波形形状，直到达到指定的最大谐波次数为止。随着更多谐波被加入，所得到的结果将越来越接近理想的方波形态。