算法设计与分析 最优装载问题

最优装载问题是一个经典的优化问题，目标是在给定的容量和重量限制下，将尽可能多的物品装入一个集装箱中。该问题的数学模型可以表示为一个二维数组，其中每个元素表示一个物品的重量和体积。假设我们有n个物品，其中第i个物品的重量为wi，体积为vi，容量限制为c，要求最大化装载的物品数量。

解决这个问题的常见方法是贪心算法。具体来说，我们可以按照每个物品的单位体积价值（即重量/体积）从大到小排序，然后依次选择单位体积价值最高的物品放入集装箱中，直到集装箱无法再装下任何物品为止。

贪心算法的正确性可以通过贪心选择性质来证明：即每一步选择都是最优的。假设我们已经将前k个物品放入集装箱中，剩余的容量为c-kv，其中v表示前k个物品的体积总和。此时，我们需要决定是否将第k+1个物品放入集装箱中。如果将第k+1个物品放入集装箱中，那么剩余的容量为c-(k+1)v，可以装入的物品数量为m1。如果不将第k+1个物品放入集装箱中，那么剩余的容量为c-kv，可以装入的物品数量为m2。根据贪心选择性质，我们应该选择使得m1>m2的方案。因此，我们可以计算出将第k+1个物品放入集装箱和不放入集装箱两种方案的物品数量，选择数量更多的方案即可。

时间复杂度分析：排序的时间复杂度为O(nlogn)，选择物品的时间复杂度为O(n)。因此，总时间复杂度为O(nlogn)。