多元线性回归如何对参数矩阵求导

多元线性回归的模型可以表示为：$y = X\beta + \epsilon$，其中 $y$ 是 $n \times 1$ 的因变量向量，$X$ 是 $n \times k$ 的自变量矩阵，$\beta$ 是 $k \times 1$ 的系数向量，$\epsilon$ 是 $n \times 1$ 的误差向量。

我们的目标是通过最小化误差平方和来估计 $\beta$ 的值，即：

$\min_\beta \{(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)^T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)\}$

为了求解 $\beta$ 的最小二乘估计，需要对上式进行求导，即：

$\frac{\partial}{\partial \beta} (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)^T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta) = -2\mathbf{X}^T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)$

将上式置为零，得到：

$\mathbf{X}^T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta) = 0$

解得：

$\beta = (\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{y}$

因此，多元线性回归的参数矩阵 $\beta$ 的求导可以通过对误差平方和进行求导，然后将结果带入到上述公式中得到。

相关问题

多元线性回归如何对损失函数矩阵求导

多元线性回归的损失函数为平方误差和，即

$$J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (\hat{y}_i - y_i)^2$$

其中 $\theta$ 是模型参数，$\hat{y}_i$ 是模型对第 $i$ 个样本的预测值，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$m$ 是样本数。

设模型的预测值为

$$\hat{y} = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \cdots + \theta_n x_n$$

其中 $x_i$ 是第 $i$ 个特征值，$n$ 是特征数。

对于 $\theta_j$，我们需要求出 $\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$，即损失函数对第 $j$ 个参数的偏导数。

我们可以先求出 $\frac{\partial J(\theta)}{\partial \hat{y}}$，即损失函数对预测值的偏导数：

$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \hat{y}} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (\hat{y}_i - y_i)$$

然后再根据链式法则求出 $\frac{\partial \hat{y}}{\partial \theta_j}$：

$$\frac{\partial \hat{y}}{\partial \theta_j} = \begin{cases} 1, & j=0 \\ x_j, & j \in [1,n] \end{cases}$$

最后，根据乘法法则和求导公式，我们可以得到：

$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{\partial J(\theta)}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial \theta_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (\hat{y}_i - y_i) \cdot \begin{cases} 1, & j=0 \\ x_j, & j \in [1,n] \end{cases}$$

将上式写成矩阵形式，可以得到损失函数对参数的偏导数矩阵：

$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta} = \frac{1}{m} X^T (X\theta - y)$$

其中 $X$ 是样本特征矩阵，$X\theta$ 是预测值向量，$y$ 是真实值向量。

正态方程求解多元线性回归模型

正态方程是一种用于求解多元线性回归模型的方法。它通过最小化损失函数的方式，找到使模型预测值与实际观测值之间差异最小的参数值。具体步骤如下：

1. 将多元线性回归模型表示为矩阵形式：Y = Xβ + ε，其中Y是实际观测值向量，X是特征矩阵，β是待求解的参数向量，ε是误差向量。

2. 将损失函数定义为误差向量的平方和：L(β) = ||Y - Xβ||^2。

3. 对损失函数进行求导，令导数为0，得到正态方程：X^T(Xβ - Y) = 0。

4. 解正态方程，求得参数向量β的估计值：β = (X^T X)^(-1) X^T Y。

通过求解正态方程，我们可以得到多元线性回归模型的参数估计值。这种方法的优点是可以直接求解参数的闭式解，而不需要使用迭代算法进行优化。