利用python求牛顿插值多项式

好的，下面是利用 Python 求解牛顿插值多项式的代码：

import numpy as np

def newton_interpolation(x, y):
    n = len(x)
    f = np.zeros([n, n])
    f[:, 0] = y

    for j in range(1, n):
        for i in range(j, n):
            f[i][j] = (f[i][j-1] - f[i-1][j-1]) / (x[i] - x[i-j])

    def p(z):
        res = f[0][0]
        for i in range(1, n):
            tmp = f[i][i]
            for j in range(i):
                tmp *= (z - x[j])
            res += tmp
        return res

    return p

其中，`x` 和 `y` 分别是已知的数据点的横纵坐标，返回一个插值函数 `p`，可以通过调用 `p(z)` 计算未知点的纵坐标。

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自拟数据，Python编程，作原函数与牛顿插值多项式拟合对比图

自拟数据通常是指在编程中创建一组特定的数据点，用于演示或测试某种算法，比如数值计算、数据分析或机器学习模型。在Python中，你可以使用numpy库生成随机数据作为例子。

牛顿插值法是一种基于差分的数学方法，它通过构建多项式函数去近似给定数据点。在Python中，可以利用scipy或numpy库中的interp1d函数来进行这种插值，并绘制原始数据点和拟合曲线的对比图。

下面是一个简化的步骤概述：

1. **生成数据**：

   import numpy as np

   x = np.linspace(0, 10, 100)  # 创造等间距的数据点
   y = np.sin(x) + np.random.normal(0, 0.5, len(x))  # 原始函数加上随机噪声

2. **牛顿插值**：

   from scipy.interpolate import interp1d

   f = interp1d(x, y)
   xi = np.linspace(min(x), max(x), 1000)  # 更密集的新点用于绘制
   yi = f(xi)

3. **画图对比**：

   import matplotlib.pyplot as plt

   plt.scatter(x, y, label='Original Data')
   plt.plot(xi, yi, 'r', label='Interpolated Curve')
   plt.xlabel('X')
   plt.ylabel('Y')
   plt.legend()
   plt.show()

在这个过程中，你会看到原数据点与牛顿插值后的光滑曲线之间的区别，展示了插值方法在拟合数据方面的效果。

输出均差表的牛顿插值型插值多项式的代码

输出均差表的牛顿插值型插值多项式通常涉及到数值分析中的数学插值方法。在Python中，我们可以使用numpy库来进行这样的计算。这里是一个简单的例子，假设我们有一个数据点列表（x,y），我们将使用牛顿插值法构建插值多项式：

import numpy as np

def lagrange_interpolation(points):
    x, y = zip(*points)  # unpack the (x, y) pairs into separate lists
    n = len(x)
    
    def polynomial(t):
        result = 0
        for i in range(n):
            fact = 1
            for j in range(n):
                if j != i:
                    fact *= t - x[j] / (x[i] - x[j])
            result += y[i] * fact
        return result
    
    return polynomial

# 示例数据点
data_points = [(0, 1), (1, 4), (2, 9)]
polynomial_func = lagrange_interpolation(data_points)

# 插值函数应用
t_values = np.linspace(0, 2, 100)  # 创建插值点
interpolated_values = polynomial_func(t_values)

print("插值多项式:", interpolated_values)

这个代码首先定义了拉格朗日插值函数，然后应用到给定的数据点上，生成一个可以在指定范围内的插值函数。`lagrange_interpolation`函数利用拉格朗日基本定理计算每个插值点处的多项式。