python:牛顿插值发

牛顿插值法是一种用于插值的数值分析方法，它可以通过已知的一些数据点来构造一个多项式函数，从而在这些数据点之间进行插值。牛顿插值法的基本思想是利用已知数据点的函数值和差商的概念，构造一个n次多项式函数，使得该函数在已知数据点上的函数值与给定的函数值相同。牛顿插值法的优点是计算简单，精度高，适用于任意等距节点的插值问题。在Python中，可以通过编写代码来实现牛顿插值法的计算。

相关问题

python实现牛顿插值法

下面是一个使用Python实现牛顿插值法的代码示例：

def newton_interpolation(x, y, x0):
    """
    :param x: 已知点的横坐标数组
    :param y: 已知点的纵坐标数组
    :param x0: 需要求解的插值点的横坐标
    :return: 插值点的纵坐标
    """
    n = len(x)
    # 构造差商表
    f = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        f[i][0] = y[i]
    for j in range(1, n):
        for i in range(j, n):
            f[i][j] = (f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j])
    # 计算插值点的纵坐标
    res = f[0][0]
    for i in range(1, n):
        tmp = 1
        for j in range(i):
            tmp *= x0 - x[j]
        res += f[i][i] * tmp
    return res

使用方法如下：

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [0, 1, 0, -1, 0]
x0 = 2.5
res = newton_interpolation(x, y, x0)
print(res)

输出结果为 0.375，表示插值点的纵坐标为 0.375。

python实现牛顿插值图

由于牛顿插值需要用到差商的概念，因此我们先实现一个计算差商的函数：

def divided_difference(x, y):
    """
    计算差商
    :param x: 数据点的横坐标
    :param y: 数据点的纵坐标
    :return: 差商表
    """
    n = len(x)
    f = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        f[i][0] = y[i]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, i + 1):
            f[i][j] = (f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j])
    return f

这个函数接受数据点的横坐标和纵坐标作为输入，返回一个差商表。接下来，我们可以使用差商表来实现牛顿插值：

import matplotlib.pyplot as plt

def newton_interpolation(x, y, xx):
    """
    牛顿插值
    :param x: 数据点的横坐标
    :param y: 数据点的纵坐标
    :param xx: 插值点的横坐标
    :return: 插值点的纵坐标
    """
    f = divided_difference(x, y)
    n = len(x)
    yy = 0
    for i in range(n):
        t = f[i][i]
        for j in range(i):
            t *= (xx - x[j])
        yy += t
    return yy

# 测试
x = [0, 1, 2, 3, 4]
y = [1, 0, 1, 0, 1]
xx = [i / 10 for i in range(50)]
yy = [newton_interpolation(x, y, i) for i in xx]
plt.plot(xx, yy)
plt.scatter(x, y)
plt.show()

这段代码会生成一个类似于下图的牛顿插值图：