求解同余方程组21x≡35(mod37) 19x≡15(mod19) 13x≡25(mod63)
时间: 2023-11-25 11:06:22 浏览: 47
这是一个数学问题,可以使用中国剩余定理求解。根据题意,我们可以列出以下同余方程组:
x ≡ 13 (mod 21)
x ≡ 17 (mod 19)
x ≡ 25 (mod 63)
使用中国剩余定理,可得一个解为:
x ≡ 5387 (mod 12183)
因此,同余方程组的解为 x ≡ 5387 (mod 12183)。
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求解同余方程组21x≡35(mod37),19x≡15(mod19),13x≡25(mod63)
根据中国剩余定理,我们可以先解出一个模数的同余方程组,再通过合并来得到原同余方程组的解。
首先解 21x ≡ 35 (mod 37),我们可以使用扩展欧几里得算法求出 21 在模 37 意义下的逆元为 11,即 21*11 ≡ 1 (mod 37)。因此,两边同乘以 11,得到 x ≡ 11*35 ≡ 26 (mod 37)。
接着解 19x ≡ 15 (mod 19),这个同余方程恒成立,因为 19 在模 19 意义下等于 0。所以,这个方程的任何整数都是解,我们可以将其表示为 x ≡ k (mod 19),其中 k 为任意整数。
最后解 13x ≡ 25 (mod 63),我们可以使用扩展欧几里得算法求出 13 在模 63 意义下的逆元为 17,即 13*17 ≡ 1 (mod 63)。因此,两边同乘以 17,得到 x ≡ 17*25 ≡ 58 (mod 63)。
现在我们需要将这三个同余方程组合并成一个。首先观察其中两个模数互质的方程:
x ≡ 26 (mod 37)
x ≡ k (mod 19)
这个同余方程组的解可以表示为 x ≡ a (mod 37*19),其中 a 是通过中国剩余定理求解得到的一个解。由于 37 和 19 是质数且互质,因此 37*19 = 703 是它们的最小公倍数,满足 x ≡ a (mod 703) 的解就是同余方程组的一个解。
使用相同的方法,我们将末尾的同余方程式合并起来:
x ≡ 58 (mod 63)
再将上一个结果与这个式子求最小公倍数,得到
x ≡ b (mod 703*63)
其中 b 是通过中国剩余定理求解得到的一个解。最终同余方程组的解可以表示为 x ≡ c (mod 21*19*63),其中 c 是 b 在模 21*19*63 意义下的余数。
综上所述,同余方程组21x≡35(mod37),19x≡15(mod19),13x≡25(mod63)的解为 x ≡ c (mod 21*19*63),其中 c 是通过中国剩余定理求解得到的一个解。
由以下方程组求x。 x≡1mod2 x ≡2mod3 x≡3mod5 x≡5mod7
我们可以使用中国剩余定理来求解这个方程组。
首先,根据第一个条件,可以写成 x = 2k+1 的形式,其中k为整数。
将其代入第二个条件,得到 2k+1 ≡ 2 (mod 3),即 2k ≡ 1 (mod 3)。由于2在模3意义下的逆元为2,因此可以将其乘以2,得到 k ≡ 2 (mod 3)。
将其代入第三个条件,得到 2k+1 ≡ 3 (mod 5),即 2k ≡ 2 (mod 5)。由于2在模5意义下的逆元为3,因此可以将其乘以3,得到 k ≡ 3 (mod 5)。
将其代入第四个条件,得到 2k+1 ≡ 5 (mod 7),即 2k ≡ 4 (mod 7)。由于2在模7意义下的逆元为4,因此可以将其乘以4,得到 k ≡ 2 (mod 7)。
现在,我们需要找到一个数满足这三个条件: k ≡ 2 (mod 3),k ≡ 3 (mod 5),k ≡ 2 (mod 7)。根据中国剩余定理,这个数可以表示为:
k ≡ a1×M1×N1 + a2×M2×N2 + a3×M3×N3 (mod M)
其中,a1=2,M1=5×7,N1是M1在模3意义下的逆元,即N1=2;a2=3,M2=3×7,N2是M2在模5意义下的逆元,即N2=3;a3=2,M3=3×5,N3是M3在模7意义下的逆元,即N3=5;M=M1×M2×M3=5×3×7=105。
将这些值代入公式,得到:
k ≡ 2×5×2 + 3×3×3 + 2×15×5 ≡ 23 (mod 105)
现在,我们可以将k代入x=2k+1,得到:
x ≡ 2×23+1 ≡ 47 (mod 210)
因此,方程组的解为 x ≡ 47 (mod 210)。