python第2关：圆周率的近似值

圆周率的近似值可以通过蒙特卡罗方法来计算。大致的思路是，在一个单位圆内随机生成大量的点，然后统计落在圆内的点的数量，以及总的点的数量。落在圆内的点的数量与总的点的数量的比值，可以近似地表示出圆的面积和正方形的面积之比，从而得到圆周率的近似值。代码实现如下：

import random

def approximate_pi(n):
    count = 0
    for i in range(n):
        x, y = random.random(), random.random()
        if x ** 2 + y ** 2 < 1:
            count += 1
    return 4 * count / n

print(approximate_pi(1000000))

相关问题

第3关：循环嵌套计算π的近似值

第三关通常是指使用循环嵌套结构来估算圆周率π的数值。最常见的一种方法是通过Leibniz公式，也称为无穷级数求和。这种方法是基于4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + ... 的无限序列，每个分数的分母都是奇数，并且分子总是4。

以下是简单的Python代码示例，展示了如何使用双层循环来计算π的一个近似值：

def estimate_pi(n_terms):
    numerator = 4.0
    denominator = 1.0
    pi_approximation = 0.0

    for i in range(0, n_terms // 2):  # 只取一半项，因为有正负抵消
        pi_approximation += numerator / denominator
        denominator += 2  # 更新分母，每次增加2，保持奇数序列

    return pi_approximation * (4.0 / (2 * n_terms))

# 示例，计算1000项的π近似值
pi_estimate = estimate_pi(1000)
print(f"Using {n_terms} terms, π is approximately {pi_estimate}")

在这个例子中，`n_terms`决定了级数中的项数，更多的项会得到更精确的结果。但是请注意，实际计算中通常会使用已知的更高效算法，如马青若公式或 Bailey–Borwein–Plouffe (BBP) 公式，而不是这种逐项累加的方式。

利用蒙特卡罗方法计算圆周率近似值 要求对其进行优化，减小计算量

蒙特卡罗方法可以用来计算圆周率的近似值。具体方法是，在一个正方形内随机生成大量的点，然后统计落在一个半径为正方形边长一半的圆内的点的数量，最后用这个数量和总点数的比例来估算圆的面积和圆周率的值。具体计算公式为 π/4 = 圆内点数/总点数。以下是一个简单的实现：

import random

def estimate_pi(num_samples):
    points_in_circle = 0
    for i in range(num_samples):
        x = random.uniform(0, 1)
        y = random.uniform(0, 1)
        if x ** 2 + y ** 2 <= 1:
            points_in_circle += 1
    return 4 * points_in_circle / num_samples

这个函数接受一个参数`num_samples`，表示生成的点的数量。函数使用`random.uniform(0, 1)`函数在0到1之间随机生成x和y坐标，然后检查这个点是否在圆内，如果是的话就将计数器加1。最后，函数返回估算出的圆周率值。

为了优化这个函数，可以考虑使用并行计算来加速计算过程。一个简单的方法是使用Python的`multiprocessing`库，将生成每个点的过程分配到多个进程中并行执行。以下是一个示例实现：

import random
import multiprocessing

def estimate_pi_parallel(num_samples, num_processes):
    pool = multiprocessing.Pool(num_processes)
    num_samples_per_process = [num_samples // num_processes] * num_processes
    num_samples_per_process[0] += num_samples % num_processes
    results = pool.map(estimate_pi, num_samples_per_process)
    return sum(results) / num_processes

这个函数接受两个参数，`num_samples`表示总共生成的点数，`num_processes`表示使用的进程数。函数首先创建一个进程池，并将生成点的任务分配到每个进程中。为了保证每个进程生成的点数相等，函数首先计算出每个进程应该生成的点数。如果总点数不能被进程数整除，多余的点数将分配到第一个进程中。然后，函数使用`pool.map()`方法将生成每个点的任务分配到每个进程中，并在所有进程完成后将结果汇总，并除以进程数得到最终的结果。通过并行计算，可以大大缩短计算时间。